Книга: Азбука рисунков природы

Орнамент из точек

Орнамент из точек

Рисунки этого раздела идеализировано можно представить в виде точек, расположенных на плоскости. Это сурчины в степи, муравейники в лесу, вулканы на дне океанов и т. п. Элементы всех этих рисунков возникают там, где значения соответствующего потенциала достигают порогового уровня. В одномерном случае пространственное распределение пороговой и потенциальной функций мы графически выражали в виде линии. В двухмерном же случае эти функции можно представить некоторыми поверхностями, рельефами, у которых высотные отметки соответствуют значениям этих функций. При воздымании потенциального рельефа в какой-то момент он упрется в пороговый рельеф. В этой точке выполнится условие Е = Р и появится первый элемент. В сложных случаях это могут быть сильно расчлененные рельефы с множеством острых вершин, гребней, впадин. В этом случае процессы самоорганизации не проявятся. Здесь появление большинства элементов будет определено максимумами потенциальной функции (вершинами ее рельефа) и (или) минимумами пороговой (ее впадинами). Поэтому будем рассматривать относительно простые внешние условия — малорасчлененные рельефы. Простейший случай — это две горизонтальные плоскости, одна из которых (потенциальная) поднимается, приближаясь к пороговой. В такой ситуации заложение первого элемента может произойти равновероятно в любом месте рассматриваемого пространства, везде одновременно выполнится условие Е = Р.

Рис. 34

Рис. 35

Рис. 36

Примем, что появление элемента мгновенно изменяет (разгружает) потенциальную функцию и в ее рельефе возникает впадина в виде перевернутого конуса радиусом r, т. е. зона разгрузки имеет конечные размеры и ее величина уменьшается при удалении от структурного элемента линейно. Вслед за первым элементом в случайных местах за пределами зон разгрузки будут возникать и другие структурные элементы, и в скором времени все пространство будет перекрыто их зонами разгрузки. В итоге сформируется структура, подобная изображенной на рис. 34. Расстояние между любым ее элементом и ближайшим соседним будет везде больше r, но меньше ?3r.

Рельеф поверхности потенциальной функции после ее разгрузки структурными элементами станет сильно расчлененным, появится множество острых вершин, соединенных седлообразными гребнями. Причем вершины будут расположены на одинаковом расстоянии от трех ближайших структурных элементов — в центре условно соединяющего их треугольника (рис. 35). При наращивании значений потенциальной функции, т. е. при воздымании рельефа потенциальной поверхности, эти вершины будут последовательно достигать порогового уровня, и в этих точках произойдет заложение структурных элементов второй генерации. Мы видим, что и в двухмерном случае элементы новой генерации закладываются на равном расстоянии от элементов предыдущей генерации — в элементарных ячейках малоупорядоченной первой генерации появляется строгая упорядоченность.

Теперь при тех же условиях зададим, что разгрузка потенциальной функции вблизи структурного элемента неравномерна по направлениям, т. е. основание конуса разгрузки не круг, а эллипс, длинная ось которого ориентирована, допустим, вдоль пространственной координаты x, а короткая — y (рис. 36). Тогда в образовавшейся структуре расстояние между соседними элементами в направлении x будет варьировать от r_x до 2r_x, а в направлении y — от r_y до 2r_y.

Можно задать и более сложную зону разгрузки, например такую, какая изображена на рис. 37. В этом случае расстояние между элементами в каком-либо направлении xy будет варьировать от r'_xy до r'_xyy + r''_xy.

Зададим новые условия: пороговый рельеф также плоский и горизонтальный, а потенциальный имеет гребень, по обе стороны от которого высота рельефа линейно убывает. Основание конуса разгрузки, как и в первых примерах, примем в виде круга. Примем, что линия гребня горизонтальна. Тогда при равномерном воздымании потенциального рельефа этот гребень одновременно на всем своем протяжении достигнет пороговой поверхности и на нем возникнут элементы. Этот этап, по сути, — ранее рассмотренная одномерная задача, в которой, как помним, структурные элементы на гребне располагались один от другого на расстоянии от r до 2r. После их заложения на потенциальном рельефе вместо гребня образуется цепочка углублений, окруженная симметричными извилистыми гребнями с острыми вершинами (рис. 38). Чем дальше один от другого расположены соседние структурные элементы, тем выше образовавшиеся при этом вершины и тем ближе они расположены к линии первоначального гребня.

Рис. 37

Рис. 38

Рис. 39

При воздымании потенциального рельефа на месте этих вершин будут образовываться ряды новых элементов. Все они будут равноудалены от двух ближайших первоначальных элементов на расстояние r. Видим, что появление смещающейся границы обусловило упорядоченность в направлении ее смещения. Расстояние между соседними новыми элементами — расстояние в направлении простирания первоначального гребня — выдержанным не будет, оно может измениться от r до 2r, в этом направлении смещения границы не было. Если первоначальные элементы на оси гребня расположены относительно плотно, то и новые структурные элементы на этом участке будут в направлении гребня плотно упакованы (см. рис. 38). Если соединить отрезками элементы, то получится множество равнобедренных треугольников, заметно ориентированных вдоль оси гребня, т. е. неплотная упаковка первоначальных элементов на гребне сказывается на рисунке — он в этом районе разуплотнен в этом направлении и соответственно переуплотнен в перпендикулярном.

На первый взгляд может представиться, что структура, образовавшаяся при симметричном относительно гребня наращивании значений потенциальной функции, будет также симметричной. На многих участках в окружении оси гребня это действительно будет так. Это позволяет при дешифровке структуры выделять первоначальную ось. Однако если расстояние между структурными элементами, лежащими на оси гребня, где-то будет больше ?3r, то расстояние между двумя симметричными вершинами, появившимися между этими элементами, будет меньше r, и поэтому при возникновении на одной из этих вершин элемента другая вершина, лежащая по другую сторону гребня, попадает в зону разгрузки этого элемента и исчезает; в результате симметричный рисунок на этом участке появиться не может.

Теперь представим такую ситуацию: структурные элементы на оси гребня по какой-либо причине расположились на одинаковом расстоянии, допустим через интервал 3/2r (рис. 39). В этом случае равномерное наращивание значений потенциальной функции приведет к образованию строго упорядоченной структуры, у которой расстояние между элементами в направлении вдоль гребня будет везде равно 3/2r (см. рис. 39).

Зададим новый рельеф потенциальной функции. Пусть также будет протяженный гребень, но на нем есть вершина, при удалении от которой отметки гребня линейно снижаются. Этот рельеф в виде изолиний отражен на рис. 40, а. Сечение принятого рельефа имеет очертания ромба, т. е. перпендикулярно гребню идет второй менее выраженный гребень.

При воздымании рельефа первый элемент возникнет на вершине гребня. После разгрузки этой зоны на гребне появятся две новые вершины, равноудаленные от первоначальной на расстояние r, здесь и появятся новые элементы. В свою очередь, рядом с ними на гребне появятся новые максимумы. В итоге на бывшем гребне возникнет цепочка элементов, окруженная новыми извилистыми гребнями с острыми вершинами (см. рис. 40, б). Эти вершины, в свою очередь, также достигнут порогового уровня, и вдоль первой цепочки начнут разрастаться две новые цепочки элементов (см. рис. 40, в). В результате со временем появится строго периодичная пространственная структура, у которой элементы расположатся в вершинах равносторонних треугольников (см. рис. 40, г). Соответственно гребни потенциального рельефа составят правильную шестиугольную сеть, в узлах которой будут расположены вершины расчлененной потенциальной поверхности (рис. 41). При дальнейшем воздымании потенциально-порогового рельефа в этих вершинах произойдет заложение элементов новой генерации.

Рис. 40

Теперь при тех же условиях примем, что второй гребень хорошо выражен (рис. 42), т. е. диагонали ромба сечений рельефа сравнимы. После заложения в вершине потенциального рельефа структурного элемента в рельефе, как на основном гребне, так и на перпендикулярном ему, появятся по два максимума. На основном гребне их отметки будут выше, здесь и возникнут два новых структурных элемента.

После этого на основном гребне вновь появятся два максимума (см. рис. 42, 6 и 7), но, как это видно из рисунка, их высота будет меньше, чем высота вершин, обозначенных цифрами 4 и 5. Поэтому новые элементы появятся в точках 4 и 5. В итоге, в отличие от предыдущего примера, где второй гребень был не выражен, появляется крестообразное взаиморасположение элементов. Дальнейшее наращивание значений потенциальной функции приведет к формированию строго упорядоченной структуры, элементы которой будут лежать в вершине квадратов со стороной r. Мы видим, что при качественно одинаковых условиях в двух последних примерах сформировались различные рисунки. Критический угол ромба, который определяет тот или иной тип структуры, равен 30°.

Рис. 41

Рис. 42

Теперь рассмотрим ситуацию, когда сечения потенциального рельефа представляют собой правильные окружности. Например, рельеф представляет собой пологий правильный конус. После заложения в его вершине первого структурного элемента в рельефе сформируется одновысотный кольцевой гребень (рис. 43). Новые элементы равновероятно могут возникать в любом месте этого гребня. Их здесь при случайном заложении может возникнуть четыре—шесть (возможный вариант с тремя элементами тут же достраивается до шести). Как видно из рис. 43, варианты с первоначальными четырьмя—пятью элементами даже при симметричном расположении в итоге не приводят к формированию строго упорядоченных структур. Лишь в направлении смещения границы структурообразования между соседними элементами расстояние выдержано и равно r. Обратим внимание на то, что если по склону холма спускается небольшой гребень, то он подчеркивается цепочкой точек (рис. 44). При рассмотренных условиях с центрально-симметричным холмом полное взаимоупорядочение рисунка происходит лишь при заложении на гребне шести элементов. Но при случайном возникновении элемента эта предельно плотная упаковка маловероятна. Однако такая ситуация возникает закономерно при отсутствии центральной симметрии потенциального рельефа (при снижении степени его симметрии) (рис. 45). В этом случае при заложении первого элемента в потенциальном рельефе возникнет кольцевой хребет, у которого в какой-то части (там, где изолинии потенциального рельефа разрежены) будет наблюдаться максимальная высота рельефа. В этой точке и произойдет заложение второго структурного элемента. После этого две новые вершины потенциального рельефа возникнут на первоначальном кольцевом гребне в точках его пересечения границей разгрузки второго элемента. Так же, в свою очередь, на этом гребне на расстоянии r от предыдущего возникнут и другие элементы (см. рис. 45).

Рис. 43

Рис. 44

Рис. 45

Эту ситуацию можно рассматривать как смещение границы структурообразования одновременно и вдоль, и поперек склона. В итоге элементы будут строго взаимоупорядочены. Отметим, что для появления этого рисунка достаточно нарушить центральную симметрию лишь на самой вершине. Как только сформируется первый ряд из шести точек, дальнейшее развитие структуры определено.

Можно задать ситуацию с изменением размеров зоны разгрузки в пространстве. На рис. 46 показано развитие структуры при симметричном конусе потенциального рельефа в случае, когда радиус зоны разгрузки равен расстоянию до первого элемента, т. е. он закономерно увеличивается при удалении от центра структуры. Положение четырех точек на границе зоны разгрузки первого элемента задано симметрично. Остальные элементы при воздымании потенциального рельефа сами появляются в строго упорядоченных местах — если соединить одновозрастные точки, то получим серию вписанных квадратов.

Рис. 46

Мы рассмотрели ряд примеров и видим, что для появления на больших пространствах строгой упорядоченности элементов необходимо отсутствие у элементов «выбора» точки возникновения. Она должна однозначно задаваться геометрией рельефов и зон разгрузки, т. е. в порогово-потенциальном рельефе на околонулевых отметках не должно быть равновысотных плато, гребней или нескольких рядом расположенных равновысотных максимумов, т. е. в однородных внешних условиях упорядоченность не появляется. Нет уверенности, что в такой ситуации она появится и в случае саморазвития элементов, когда вместе с разгрузкой потенциала вокруг элемента происходит снижение отметок порога и появляется кольцевой гребень порогово-потенциального рельефа. На этом гребне условия для заложения новых элементов будут равновероятны, и они здесь могут появиться случайно, неупорядоченно.

А теперь, оставив скучные абстракции, обратимся к конкретным рисункам и покажем, как среди хаоса можно обнаружить порядок.