Книга: Азбука рисунков природы

От конкретного к абстрактному

От конкретного к абстрактному

Мы рассматривали разные процессы и использовали разные слова: «растяжение», «сжатие», «потребность», «разрыв», «складка», «станция»... Однако заметим, схема описания последовательности появления структуры при этом не менялась. Во всех рассмотренных примерах описывалась некоторая меняющаяся во времени пространственная функция, характеризующая какой-то потенциал территории — способность совершать или побуждать действие (сжимающие или растягивающие напряжения, социальные потребности, наличие какого-то ресурса) E_x= f(x, T). Одновременно с этим отмечалось, что существует некоторая функция порогового уровня — прочность на разрыв, арендная плата, порог рентабельности P_x = f(x, T). Первоначально везде выполнялось условие Р_x > Е_x и структурные элементы отсутствовали. Но величины потенциальной функции со временем росли, и в какой-то момент в какой-то точке выполнялось условие E_x = P_x — потенциал достигает порогового уровня, и тогда здесь возникал структурный элемент — разрыв, трещина, автостанция и т. д. (для математиков такое явление — это разрыв функции, для физиков — фазовый переход, для философов — переход количества в качество). Появление структурного элемента сопровождалось изменением вокруг него потенциальной функции, происходила ее «разгрузка». При этом рядом появлялись ее новые максимумы. Дальнейшее наращивание ее значений вызывало появление новых элементов и т. д.

Воспользуемся этой универсальной схемой и продолжим анализ закономерностей упорядоченного структурообразования в терминах «потенциал», «порог», «элемент», «разгрузка». Из этой схемы следует, что для прогноза структуры достаточно знать пространственно-временную динамику потенциала и порога (знать функции E и P). Значит, особенности структуры заложены в особенностях этих функций.

Потенциальную и пороговую функцию можно объединить в одну в виде f(E_x, Р_х) = Е_х — Р_х. Назовем ее порогово-потенциальной функцией. Эта функция не имеет положительных значений. По мере роста во времени значений потенциальной функции или снижения значений пороговой функции значения суммарной функции возрастают — кривая f(E_x, Р_х) приближается к нулю. Первый структурный элемент появится в момент достижения максимумом этой функции нуля.

В пределах рассматриваемого отрезка порогово-потенциальная функция может иметь несколько максимумов (рис. 22, а). В этом случае при наращивании ее значений структурные элементы будут возникать в этих точках (см. рис. 22, б). Соответственно образовавшаяся структура будет отражением неоднородностей среды. Зоны разгрузки элементов этой структуры не перекрывались, и элементы не влияли на образование друг друга. Это не интересно, здесь нет самоорганизации. Поэтому мы будем рассматривать гладкие случаи, когда первоначально на рассматриваемом отрезке порогово-потенциальная функция имеет не больше одного максимума и монотонно убывает от этого максимума. Более сложные функции с макронеоднородностями всегда можно разбить на такие участки. При таком условии положение первого элемента задано, его появление создает два новых максимума, в которых при наращивании потенциала образуются следующие элементы, и т. д. Расстояние от первоначального до следующего элемента определяется в первую очередь закономерностями разгрузки. Величина разгрузки потенциальной функции вблизи элемента в каждом конкретном случае в зависимости от природы наблюдаемой структуры может подчиняться различным закономерностям. Она может зависеть лишь от расстояния до структурного элемента, а может определяться еще и величинами потенциальной функции — составлять какую-то долю от их значений. Закономерность разгрузки при этом может быть описана линейным, степенным, экспоненциальным законами и т. д. (рис. 23). Ширина зоны разгрузки при формировании многих структур может быть фиксированной и четко выраженной (рис. 24). В этом случае положение новых максимумов, и соответственно элементов, четко определено. Если же разгрузка асимптотическая, то положение следующего максимума будет зависеть от первоначального наклона кривой потенциальной функции: чем он больше, тем ближе элементы (рис. 25). Если наклон потенциальной кривой на ненарушенном участке со временем по мере роста ее значений не изменяется (рис. 26) и остаются неизменными закономерности разгрузки, то в итоге элементы первой генерации будут расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Если эти характеристики закономерно изменяются, то появится структура с соответственно закономерно изменяющимся расстоянием между элементами. Если же потенциальная функция не имеет максимума, не имеет наклона, строгий ритм мы не получим.

Рис. 22

Рис. 23

Рис. 24

Рис. 25

Рис. 26

Идеальных пространственных однородных условий в природе не существует, поэтому рассматриваемая схема универсальна. Закономерный же пространственный ритм мы видим относительно редко только потому, что процессы самоорганизации подавлены мезо- и микронеоднородностями. На фоне этих шероховатостей наклон кривой порогово-потенциальной функции зачастую незаметен. Наличие микронеоднородностей не допускает также теоретически возможную зону разгрузки бесконечной ширины. Величина разгрузки при удалении от структурного элемента убывает, и на каком-то расстоянии она становится практически незаметной на фоне микрофлуктуаций. Зона разгрузки часто может быть выражена в виде вероятностной кривой, т. е. структурный элемент может появиться и в непосредственной близости от другого, но с меньшей вероятностью. Соответственно порогово-потенциальную функцию во многих случаях следует рассматривать (задавать) как функцию вероятности возникновения структурного элемента.

Очевидно, что чем больше наклон кривой порогово-потенциальной функции (чем резче смещающаяся граница) и чем меньше ее шероховатость, тем более выдержанным будет расстояние между структурными элементами (рис. 27). При высоком уровне шероховатости и малом наклоне потенциальной кривой эффект смещающейся границы затушевывается — элементы будут возникать без строгой пространственной периодичности. Однако он может быть выявлен и в этом случае по средней плотности структурных элементов. Упаковка будет более плотной.

Во всех предыдущих примерах мы предполагали, что при появлении элементов потенциал в этой точке навсегда становился нулевым. Но возможна ситуация, когда при общем наращивании потенциала он будет возрастать и в этой точке. В обычных условиях это не принципиально — все равно здесь будет минимум порогово-потенциальной функции. Но появление структурного элемента в своем окружении может изменить и значение пороговой функции. Законы изменения этой функции могут быть при этом различными.

Рассмотрим вариант, при котором величина пороговой функции изменяется лишь в точке, в которой появился структурный элемент. Например, в окружении морозобойной трещины прочность грунтов на разрыв не меняется, но сама трещина ослабляет массив — в вершине трещины его прочность может быть много меньше прочности ненарушенного массива. Поэтому при дальнейшем охлаждении возможна ситуация, когда значения потенциальной функции достигнут значений пороговой функции в точках расположения структурных элементов (рис. 28, а), в результате произойдет их углубление (см. рис. 28, б). Более глубокая трещина в большей мере разгружает окружающий массив. Поэтому элементы новых генераций могут не возникнуть. Эту ситуацию можно проиллюстрировать и на примере социальных структур. Мы рассматривали схему, по которой при росте потока транспортных перевозок по автостраде между станциями техобслуживания первой генерации появляются станции второй генерации. Но разгрузка возрастающих потребностей в техобслуживании может быть достигнута путем «углубления» станций первой генерации, например, за счет введения дополнительных мощностей, новых видов обслуживания, повышения его качества, за счет создания передвижных бригад. Это зачастую выгоднее строительства новых станций, так как не требует дополнительных расходов на аренду земли, создания новой инфраструктуры и т. д. Суть — пороговый уровень в пределах элемента ниже, чем в его окружении. В итоге, с увеличением «размера» структурного элемента увеличиваются ширина и интенсивность разгрузки потенциальной функции и станции второй генерации не появятся.

Рис. 27

Рис. 28

Во всех рассматриваемых нами примерах предполагалось, что элементы возникают мгновенно в момент достижения условий Е_x = Р_x и в этой точке полностью разгружают потенциал. Так, принималось, что упругий брусок разрывается мгновенно до основания, станции техобслуживания сразу начинают работать на полную мощность и т. д., т. е. за время появления этих элементов внешние условия существенно не изменяются, а промежутки времени между моментами их заложения значительно больше, чем время формирования каждого из них. Однако элементы многих структур развиваются медленно и плавно. Рассмотрим эту ситуацию.

Пусть на некотором отрезке значения потенциала вдоль оси x неизменны и равномерно нарастают во времени. Кривая значений пороговой функции имеет микрошероховатость, но также в целом прямолинейна и не имеет наклона (рис. 29, а). Эффект смещающейся границы в этой ситуации отсутствует.

При нарастании значений потенциальной функции в какой-то точке микроминимума пороговой функции возникнет первый элемент. Если в этот момент нарастание потенциала прекратится, то этот элемент будет единственным на рассматриваемом отрезке. Примем, что его «углубление» происходит относительно медленно, зона разгрузки медленно расширяется и лишь через какое-то время она достигает своих конечных размеров (см. рис. 29, б). А теперь предположим, что потенциальная функция продолжает нарастать, «не дожидаясь», когда полностью сформируется первый элемент. При этом произойдет зарождение множества других элементов, причем появятся они и вблизи первого, так как он еще «не углубился» и его окружает узкая зона разгрузки. Все новые элементы будут появляться, «не дожидаясь» расширения зон разгрузки друг друга. Поэтому в итоге сформируется структура с очень плотной упаковкой (см. рис. 29, в). Чем выше скорость нарастания потенциала функции и чем меньше скорость углубления элементов, тем плотнее их упаковка.

В рассматриваемом примере при дальнейшем углублении элементов рисунок может развиваться двумя различными путями в зависимости от закономерностей процесса углубления элементов. Если свойства среды таковы, что по мере углубления отдельно взятого элемента скорость его углубления снижается, то в этом случае наиболее глубокие элементы (элементы, появившиеся первыми) углубляются медленно, поэтому другие, менее глубокие и потому быстрее развивающиеся элементы будут их «догонять». В этом случае первоначальные различия элементов по глубине к моменту завершения формирования рисунка уменьшатся (см. рис. 29, г). Соответственно первичные неоднородности, из-за которых на ранних этапах формирования структуры ее элементы могли существенно различаться по размерам, со временем затушевываются.

Рис. 29

Другая возможная ситуация: скорость углубления структурных элементов возрастает по мере их углубления. В этом случае элементы могут оказаться в состоянии острой конкуренции — если какой-то элемент за счет более раннего появления опережает в своем развитии соседние, то он, разгружая вокруг себя потенциал, сдерживает этим или даже останавливает развитие соседних элементов. В итоге может возникнуть структура с несколькими «генерациями» элементов (см. рис. 29, д). Местоположение трещин первой генерации будет приурочено к первоначальным микроминимумам пороговой функции. Полученная структура будет отражать внешние условия, сильно подчеркивая первичные микронеоднородности внешних характеристик. Отметим, что на самом деле все элементы в этом примере, хотя они и различаются по глубине, в возрастном отношении являются элементами одной первой генерации. Соответственно у них нет строгой закономерности во взаиморасположении в отличие от настоящих элементов более высоких генераций, которые возникают посередине между элементами предыдущей генерации. Эта особенность позволяет отличать реальные и псевдогенерации.

Рис. 30

Теперь рассмотрим процесс формирования рисунка при медленном углублении элементов, но со смещающейся границей. Примем, что величина порога по оси x не меняется, а потенциал вправо от своего максимума имеет вид наклонной прямой (рис. 30, а). После заложения в точке максимума потенциала первого элемента появляется новый максимум. Первоначально он расположен в непосредственной близости от элемента, но по мере его углубления удаляется от него (на рис. 30, б) продемонстрирована последовательность смещения максимума потенциальной функции в ситуации, если она не наращивается). Чем быстрее нарастает потенциал и чем медленнее углубляется элемент, тем быстрее новый максимум потенциала достигнет порога, а так как за короткое время максимум потенциальной функции не успевает далеко сместиться от первого элемента, то соответственно расстояние между ним и новым элементом будет мало (см. рис. 30, в, г).

При неизменном законе разгрузки и равномерной скорости смещения границы элементы будут образовываться последовательно на одинаковом расстоянии один от другого. В случае же закономерного изменения скорости смещения границы закономерно будет изменяться и расстояние между элементами. При увеличении скорости оно будет снижаться, при замедлении — расти, стремясь к расстоянию, которое наблюдалось бы в случае моментального углубления элементов. Отметим, что в аналогичном с ранее рассмотренным примером, но в условиях моментального образования элементов, скорость смещения границы на пространственную ритмичность не влияла.

Отметим также, что в приведенном примере дальнейшее наращивание потенциала приводило к формированию между элементами первой генерации новых элементов. В последнем же примере в условиях медленного роста элементов их упаковка может быть столь плотной, что появление элементов новых генераций будет невозможно. Однако здесь могут появиться псевдогенерации. По мере наращивания потенциала между элементами возникает конкуренция, и некоторые элементы, опередив другие, будут сдерживать их развитие. А могут вызвать даже их вырождение.

Рассмотрим подробнее процессы, связанные с деградацией структурных элементов и их повторным образованием. Для многих пространственных структур это обычное явление. После дождя заплывает рисунок трещин усыхания, весной заполняются водой и залечиваются морозобойные трещины, ветшают предприятия. Однако полное исчезновение структуры происходит редко, и старая структура в той или иной степени сохраняется, определяя максимумы и минимумы пороговой и потенциальной функций. Часто в природе бывшее местоположение элемента запечатляется в виде локального минимума пороговой функции — ослабленной точки, и при повторном наращивании потенциала новые элементы возникают в местах расположения старых. Если остаточные минимумы пороговой функции в этих точках очень глубокие, то старая структура, многократно возобновляясь, будет сохраняться даже если внешние характеристики за это время существенно изменятся и будут «требовать» новой структуры.

Во всех рассмотренных примерах предполагалось, что местоположение элементов остается неизменным. Однако в природе элементы многих структур могут быть подвижными и взаимоперемещаться. Несложно показать, что при одинаковом числе элементов на равновеликих отрезках максимальная суммарная разгрузка потенциальной функции в пределах этого отрезка будет наблюдаться при регулярном взаиморасположении элементов. Если потенциальная функция отражает количество свободной энергии, заключенной в системе или проходящей через нее, т. е. энергии, способной совершать работу по изменению структуры, то нерегулярные структуры с подвижными элементами должны стремиться к регулярному расположению своих элементов — к термодинамически более равновесному, устойчивому состоянию. Поэтому смещение структурного элемента должно происходить в сторону максимальных значений потенциальной функции (рис. 31). В итоге таких перемещений структура с нерегулярным расположением элементов может со временем перестроиться в строго упорядоченную структуру с равными расстояниями между элементами. Здесь возникает вопрос — почему же сразу в этом случае не появилась упорядоченная структура? При отсутствии эффекта смещающейся границы элементы первой генерации зарождаются в случайных местах в точках, находящихся за пределами влияния ранее сформировавшихся элементов. И лишь по достижении относительно плотной упаковки зоны разгрузки двух соседних элементов перекрываются и элементы попадают в условия взаимовлияния.

Однако, вопреки определяемой вторым началом термодинамики общей направленности процессов к равновесному состоянию, строго регулярные рисунки, появившиеся в результате «взаимоутряски» элементов, встречаются редко. Это связано с тем, что упорядочение структуры требует относительно много времени. За это время некоторые элементы могут исчезнуть, и в структуре образуется новый широкий незаполненный промежуток, к которому, «ломая строй», устремятся соседние элементы, или он заполнится множеством мелких элементов. На больших отрезках времени вероятно изменение внешних условий, и тогда, например, небольшое наращивание значений потенциальной функции приведет к тому, что внутри наиболее широких промежутков между элементами возникнут элементы новых генераций, после чего элементы, ранее «стремящиеся» сжать эти промежутки, начнут расходиться в стороны от образовавшегося здесь нового элемента, так как после его появления область наименее разгруженная становится наиболее разгруженной.

Рис. 31

Упорядочение рисунка со временем может также происходить не только при смещении элементов, но и в результате вырождения и повторного образования новых. Если исчезнувший элемент оставляет после себя не ослабленную точку, а относительно широкую ослабленную зону, то новый элемент при своем заложении может немного сместиться относительно положения предыдущего. Он в этом случае с большей вероятностью появится в месте, где потенциал менее разгружен, т. е. чаще всего из двух соседних элементов сместится к более удаленному от него.

Мы рассматривали ситуации, когда появление элемента сопровождалось разгрузкой потенциальной функции. Но возникновение элементов может сопровождаться и ростом ее значений. Например, появление на автостраде станции техобслуживания разгружает вблизи себя потребность в ремонте. Однако улучшение сервиса на трассе может привлечь водителей, что увеличит общий транспортный поток и, следовательно, на удалении от автостанции значения потенциальной функции могут возрасти, стимулируя появление новых структурных элементов. Их возникновение, в свою очередь, также усилит общий транспортный поток, что может вызвать появление как новых элементов, так и углубление первого элемента.

Или такой пример. Выдавим из тюбика на стол длинную равномерную полоску зубной пасты. Со временем она в случайных местах будет разбита трещинами усыхания. А теперь представим себе, что мы ее покрыли тонким слоем материала, который не пропускает пары воды. В этом случае трещин не будет. Но попробуем в каком-то месте разрезать эту полоску. Через образовавшуюся щель начнет испаряться вода. Фронт усыхания будет смещаться в стороны от разреза. Это вызовет растягивающие напряжения. Разрез — это готовая трещина, поэтому возле разреза они будут разгружаться, но со временем фронт усыхания выйдет из зоны разгрузки и на ее краю образуется настоящая трещина. Она разорвет защитную оболочку и активизирует продвижение продольной волны усыхания. Когда эта волна выйдет из зоны разгрузки, вновь образуется трещина и т. д. Это пример самоорганизуемой смещающейся границы.

Саморождение новых максимумов порогово-потенциальной функции возможно и за счет снижения вблизи структурных элементов пороговой функции. Для этого необходимо, чтобы ширина зоны снижения порога была больше ширины зоны разгрузки потенциала. Например, представим себе охотничий участок, на котором есть дальний трудный путик, зверей на этом маршруте мало, и здесь не стоит ставить капканы (E << Р). Но в какой-то его точке есть одно очень уловистое место (Е > Р). Здесь и только здесь есть смысл ставить капкан. Капкан поставлен и разгружает вероятность добычи зверей в своем окружении. Однако тропа к первому капкану уже пробита, пороговой уровень вокруг него резко снизился, и на охотничьей тропе (заодно) появляются и другие капканы.

Следующий момент, на котором следует остановиться, — это образование рисунка в условиях несимметричной относительно структурного элемента зоны разгрузки (например, тот же бесконечный брусок, приклеенный к основанию, но лежащий не горизонтально, а вертикально). Выше разрыва растягивающие температурные напряжения в нем будут усиливаться растяжением за счет веса примыкающей к разрыву части бруска, а ниже они будут компенсироваться за счет сжатия под собственным весом. В случае преобладания одного направления в движении транспорта по трассе станция техобслуживания также разгружает потребность в ремонте несимметрично — в основном в направлении преобладающего движения транспорта. Такая несимметричность отражается в рисунке. Допустим, вокруг элемента моментально возникает зона разгрузки с конечными размерами. С одной стороны, ее граница расположена на расстоянии l_л, с другой — l_п, l_л > l_п (рис. 32, а). При относительно однородных условиях в отсутствие эффекта смещающейся границы новые элементы появятся здесь в любом случайном месте, но не ближе, чем на расстоянии l_л, слева от ранее сформировавшихся элементов и не ближе, чем на расстоянии l_п, справа от них. После того как весь рассматриваемый отрезок будет перекрыт зонами разгрузки, сформируется структура, подобная изображенной на рис. 32, б. Расстояние между элементами в этом случае будет варьировать от величины, равной l_л, до величины l_л + l_п. Напомним, что при тех же условиях, но симметричной зоне разгрузки расстояние между элементами варьирует от l до 2l. В рассматриваемом примере по рисунку может быть установлена последовательность формирования некоторых элементов. Так, из двух элементов, расстояние между которыми меньше l_п, первым образовался тот, что на рис. 32, б изображен слева от другого.

При наращивании значений потенциала в рассматриваемом примере появятся элементы более высоких генераций, но будут возникать они не в центре отрезков между элементами, как в примерах с симметричной зоной разгрузки, а ближе к тому краю, где разгрузка меньше.

При эффекте смещающейся границы расстояние между элементами с несимметричной зоной разгрузки должно определяться направлением, в котором смещается граница. Если она смещается в направлении, ширина зоны разгрузки в котором меньше, то и расстояние между элементами в этом случае будет меньше, чем при смещении границы в противоположном направлении. Если структура сформирована при смещении границ в обе стороны от первого элемента, то в таком рисунке легко определить положение первого элемента (рис. 33, а). Подчеркнем, что внешние условия по обе стороны от этого элемента могут быть одинаковыми, наклон потенциальной кривой и скорость ее смещения также могут быть одинаковы, плотность же упаковки элементов при этом различна (см. рис. 33, б).

Мы рассматривали структуры, состоящие из однородных элементов. Но структуры могут состоять и из элементов разной природы. Например, вдоль дороги могут появляться гостиницы, автозаправочные станции, посты ГАИ. Каждый из множества элементов возникает в точке, где значения его потенциала достигают значений его порога. Пороговая или потенциальная функции для каждого вида элементов могут быть независимы, тогда будут независимы и рисунки. Если же потенциалы и пороги взаимосвязаны, то местоположение одних элементов может задавать положение элементов другой природы. Простейший и часто встречающийся вариант при этом — появление одних элементов вызывает в этих точках появление порогово-потенциальных максимумов для элементов другой природы. В этом случае обе структуры совпадут. Так, появление разломов в земной коре предопределяет местоположение речных долин. В свою очередь, глубокие эрозионные долины, как ослабленные зоны литосферы, могут способствовать заложению здесь новых разломов. На автостраде группируются различные сервисные объекты. Так, автозаправочная станция одновременно привлекает водителей и в закусочную. Если же вдоль дороги сразу во время ее строительства были построены посты милиции, то торговые точки будут возникать скорее всего посередине между ними.

Рис. 32

Рис. 33

На этом мы закончим рассмотрение особенностей организации одномерного рисунка. Приведенные примеры далеко не исчерпывают все их разнообразие, и многие примеры слишком утрированы, но это начало азбуки («мама мыла раму»). Азбука показывает, как из букв получаются слова, нам же требовалось показать, что если удастся сформулировать условия возникновения элементов, установить начальные параметры пороговой и потенциальной функций и установить закон изменения этих функций при появлении элементов, то можно предсказать закономерности образующейся в итоге структуры, а можно решить и обратную задачу (она, однако, может быть зачастую неоднозначна, так как иногда схожие структуры могут появиться в различной последовательности). Еще раз отметим, что предлагаемая схема «работает» лишь после формализации и описания Р- и E-функций. В одних случаях, например при описании физических полей, это сделать относительно легко, в других — приходится придумывать различные абстракции. Если же это не удается, то, значит, «работает» какая-то другая схема структурообразования. В последующем мы рассмотрим некоторые из них.

Мы отметили четыре механизма, обеспечивающих появление пространственно-периодических структур.

1. Наследование, повторение элементами новой структуры порядка другой структуры (повседневный пример — использование линейки для разметки бумаги).

2. «Подгонка» элементов путем их многократного смещения в положение, равноудаленное от соседних элементов.

3. Последовательное деление пространственного отрезка и вновь образующихся частей пополам.

4. Последовательное причленение нового элемента к предыдущему через равные интервалы.

А теперь подумайте, как вы поступите, если потребуется разложить бусинки на линии так, чтобы расстояние между ними было одинаково. Вы воспользуетесь одним из этих четырех способов.

В завершение раздела отметим условие, обеспечивающее закономерное пространственное взаиморасположение элементов за счет самоорганизации. Закономерное взаиморасположение — это когда элементы закономерно влияют на положение друг друга. Для этого должен быть механизм взаимовлияния, и элементы должны или находиться на расстоянии, обеспечивающем взаимовлияние, и быть подвижными, или последовательно появляться в зоне влияния предыдущих. Предыдущие элементы при этом будут задавать местоположение последующих. В обоих случаях самоорганизация — процесс, разворачивающийся во времени. Это условие необходимое, но недостаточное. Капли дождя падают последовательно, но нет механизма взаимовлияния. В итоге в рисунке мокрых точек на асфальте нет порядка.