Книга: Азбука рисунков природы

Куда пойти в изотропном поле?

Куда пойти в изотропном поле?

Зададим, что во всех точках в пределах прямоугольного контура для всех направлений величина потенциальной функции одинакова. Примем, что линейные элементы в полосе шириной 2l разгружают потенциал в равной степени и в направлении параллельном элементу и в перпендикулярном, т. е. мы приняли, что в любой точке потенциал всегда одинаков во всех направлениях, он скаляр. На линии элемента потенциал разгружен полностью, а при удалении от него степень разгрузки линейно убывает. Предположим, что стороны прямоугольного контура являются элементами, т. е. края контура на ширину l разгружены. Как и раньше, примем, что пороговая функция — скаляр и ее рельеф горизонтален. Для первых примеров примем, что концентрация потенциала в вершине элемента отсутствует.

При всех этих условиях при наращивании потенциала условие Е = Р выполнится в пределах всего контура кроме граничных зон разгрузки. Соответственно в случайных местах и в случайных направлениях будут возникать структурные элементы, которые перекроют своими зонами разгрузки все пространство. Условия везде однородные, поэтому элементы будут удлиняться, сохраняя прямолинейность (рис. 92, а). При дальнейшем наращивании потенциала элементы будут удлиняться, проникая в зоны разгрузки соседних элементов, а в наиболее широких промежутках будут появляться элементы второй генерации (см. рис. 92, б).

Элементы при своем удлинении разворачиваются в направлении максимальных значений потенциала. Они как бы стремятся его разгрузить в максимальной степени и движутся туда, где он выше. Поэтому элемент, зайдя в зону разгрузки другого, будет стремиться развернуться и выйти из нее в зону, где потенциал не разгружен. Здесь нам необходимо задать возможный радиус разворота элемента. Он может быть очень большим, и тогда из зоны разгрузки смогут выйти лишь элементы, подходящие друг к другу под острым углом (рис. 93, а). При малом радиусе разворота элементы будут быстро выходить из зоны разгрузки (см. рис. 93, б). Отметим интересный момент: если элемент под углом заходит в полосу между двух других субпараллельных элементов, то, выйдя из зоны разгрузки одного, он попадает в зону разгрузки другого, из которой также стремится выйти. В этом случае возникнет элемент в виде извилистой линии (рис. 94). Примем, что в нашем примере минимальный радиус разворота порядка l. С учетом этих условий структура, изображенная на рис. 92, а при наращивании потенциала трансформируется в структуру, подобную изображенной на рис. 92, б.

Рис. 92

Рис. 93

Рис. 94

Рассмотрим еще одно условие, связанное с развитием структур, элементы которых в своих вершинах увеличивают («концентрируют») значение потенциала. Оговорим характерную для этого случая особенность встречи элементов. Элемент разворачивается в сторону наибольших значений, поэтому, встретив на своем пути вершину другого элемента, двигающуюся «встречным курсом», он начнет к ней разворачиваться. Соответственно и другая вершина будет стремиться к этой. В итоге два элемента сольются в одну линию (рис. 95).

Теперь зададим, что потенциальный рельеф имеет наклон в сторону кромки CD. В этом случае в рельефе на краю зоны разгрузки стороны АВ будет равновысотный гребень, по которому и пойдет первый элемент, после этого на расстоянии l от этого элемента в потенциальном рельефе образуется новый гребень, по которому пойдет следующий элемент. Как видим, образуется параллельно-полосчатая структура, не отличающаяся от структур, возникающих при схожих условиях в анизотропном потенциальном поле. Однако сходство возможно лишь при прямолинейной границе. Если же у рассматриваемого массива задать другие очертания границы, то возникнут структуры, «заданные» ею (рис. 96). На рис. 97 видна ситуация, когда со временем вершины элементов разворачивались перпендикулярно первоначальному гребню потенциального рельефа. При этом вершины элементов должны стремиться развернуться в сторону больших значений потенциала — развернуться назад. Разворот при этом равновероятен и влево, и вправо. При развороте вершина элемента может встретиться с вершиной соседнего элемента или, если он разворачивается в ту же сторону, двигаться по краю его зоны разгрузки.

Рис. 95

Рис. 96

Рис. 97

Сложные структуры могут возникать и при прямолинейной границе. На прямолинейном гребне потенциального рельефа направление первоначального короткого элемента из-за локальных неоднородностей может немного отклониться от направления гребня (рис. 98, а). Тогда концы этой линии зайдут в области, где значения потенциала меньше, чем на гребне, и будут стремиться развернуться в его сторону (в зону с большими значениями потенциала). Развернувшись, они «по инерции» пересекут гребень и вновь, уже с другой стороны, войдут в область с меньшими значениями потенциала. В итоге образуется волнистая линия (рис. 98, б). После этого в потенциальном рельефе появится новый извилистый гребень. У этого гребня преобладающие вершины будут расположены на участках, наиболее близких к первоначальному гребню. Здесь произойдет заложение нового элемента (рис. 98, б), который должен удлиняться, повторяя очертания извилистого гребня. Но возможны условия, при которых вершина элемента «не впишется» в изгибы гребня и будет отклоняться от его оси. В итоге извилистость элемента при этом будет больше, чем извилистость гребня (рис. 98, в). В свою очередь, следующий элемент станет еще более извилистым. Нарастание извилистости может лимитироваться заданным предельным радиусом кривизны, тогда геометрия структуры стабилизируется. В противном случае произойдет отрыв элемента от границы зоны разгрузки предыдущего или смыкание зон разгрузки (рис. 98, г).

Рис. 98

Рис. 99

Теперь зададим, что рельеф потенциальной поверхности представлен конусом. Условие Е = Р выполнится в его вершине. В зависимости от локальных неоднородностей здесь может возникнуть элемент с двумя или более расходящимися от центра лучами. Каждый из этих лучей будет стремиться развернуться в зону с большими значениями потенциала — назад к вершине конуса. При этом разворот влево или вправо равновероятен. В зависимости от того, как при наращивании значений потенциала взаиморазвернулись элементы, могут возникнуть разные структуры (рис. 99). По мере развития этих структур может проявиться эффект неустойчивого движения элементов по гребню потенциального рельефа — элементы станут извилистыми (см. последний фрагмент рис. 99).

Если потенциальный рельеф представлен перевернутым конусом с основанием, являющимся элементом, который разгружает вокруг себя потенциал, то новый и последующие элементы также будут кольцами, вложенными одно в другое — рисунок параллельных колец. Если же проявится эффект неустойчивости, то, по мере заполнения конуса рисунком, от элемента к элементу будут накапливаться неровности, и к центру рисунка параллельность элементов разрушится (рис. 100). В рассмотренных примерах элементы возле себя полностью разгружают потенциал, поэтому они не могут подходить друг к другу и зарождаться вблизи с другим. Но если на гребне рельефа перевернутого конуса в последнем примере сделать небольшую насечку (нарисовать первый элемент в виде небольшого крючка), то мы при последующем наращивании потенциала получим не систему колец, а спираль (см. рис. 100).

Рис. 100

И вновь немного изменим условия. Пусть потенциальная функция также изотропна — потенциал во всех направлениях одинаков, но при появлении элемента в зоне его разгрузки появляется анизотропность. Элемент разгружает потенциал в параллельном себе направлении и не разгружает в перпендикулярном, т. е. вблизи элемента возможен перпендикулярный ему элемент и невозможен параллельный. В этом случае, если один элемент входит в зону разгрузки другого, возможны два пути — выйти из зоны разгрузки (вернуться в область с высокими значениями потенциала) или развернуться в направлении, перпендикулярном другому элементу. В этом направлении потенциал здесь также не разгружен. Если элемент подходит к другому под очень острым углом, то он скорее выйдет из зоны разгрузки, в противном случае — развернется к этому элементу и подойдет к нему под углом, близким к прямому (рис. 101). Если, удлиняясь, элемент зайдет в область, где перекрываются зоны разгрузки двух других элементов (рис. 102), то дальнейшее его продвижение в этом направлении станет невозможным, так как составляющая потенциала в этом направлении здесь разгружена. Но в направлении, перпендикулярном этому направлению, потенциал не разгружен, поэтому вершина элемента, развернувшись, подойдет к одному из двух элементов (см. рис. 102). С учетом этой особенности при принятых условиях возникнет структура, подобная изображенной на рис. 103. Отметим, что каркас этой структуры был задан таким же, как на рис. 92.

Рис. 101

Рис. 102

Рис. 103

Теперь зададим наклонную поверхность потенциального рельефа. Тогда на линии АВ расположится гребень его максимума. Но потенциал здесь будет иметь только одну составляющую в направлении линии АВ. Составляющая перпендикулярная этому направлению на линии АВ краем массива будет полностью разгружена, т. е. у края массива в полосе шириной l потенциальное поле анизотропно. При достижении на линии АВ условия Е = Р здесь будут зарождаться структурные элементы (рис. 104, а). Проникая в глубь массива, они достигнут границы зоны разгрузки элемента АВ. Здесь поле потенциальной функции становится изотропным. Пересекая «по инерции» эту линию, элемент входит в зону с меньшими значениями потенциала и стремится развернуться в зону с большими значениями — назад к линии АВ (рис. 104, б). При этом вершины элементов будут или встречаться, или заходить в зону разгрузки других элементов и подходить к элементам под прямым углом (рис. 104, в). В результате сформируются тройные сочленения. В узлах тройного сочленения элементов зоны разгрузки накладываются, потенциал здесь разгружен по всем направлениям, поэтому при росте значений потенциала новые элементы будут закладываться на выпуклых участках края структуры, перпендикулярно имеющимся элементам, потенциал в этом направлении здесь ими не разгружен (рис. 104, г). Дальнейшее развитие структуры подобно первому этапу: элементы выйдут из зоны разгрузки и начнут разворачиваться обратно и т. д. (рис. 104, д). В этой структуре размер полигонов в направлении смещающейся границы будет выдержанным.

Рис. 104

Рис. 105

В рассматриваемой схеме предполагалось, что наклон потенциальной поверхности очень крутой. Быстрый разворот элементов возможен лишь при определенных условиях: чем меньше минимальный радиус разворота, чем меньше их «инерционность» и чем больше наклон потенциальной поверхности, тем быстрее они развернутся. В противном случае будут формироваться структуры, подобные изображенной на рис. 105.

Если потенциальный рельеф задать в виде конуса, то в случае заложения в его вершине тройного сочленения элементов при возможности их быстрого разворота сформируется упорядоченная структура, состоящая из шестиугольников (рис. 106).

Во всех предыдущих схемах и разделах в случае, если один элемент подходил к другому, предполагалось, что они не пересекались. Теперь же зададим, что элементы могут пересекаться. Особенности, накладываемые этим условием, во многих случаях не требуют особого пояснения. Поэтому все рассмотренные выше схемы для различных параметров потенциального поля, скорости развития элементов и т. д. рассматривать не будем. Ограничимся лишь некоторыми примерами. Так, в однородном анизотропном поле в случае моментального образования элементов при этом условии возникнут структуры, изображенные на рис. 107, 108.

Рис. 106

Рис. 107

Рис. 108

Рис. 109

В изотропном однородном поле при моментальном образовании элементов и условии разгрузки потенциала в направлении, параллельном элементу, возникнет структура, изображенная на рис. 109, а (ср. с рис. 103). Отметим важный момент. В этих условиях при косом заходе одного элемента в зону разгрузки другого он разворачивается и подходит к элементу перпендикулярно, соответственно после пересечения элемента он выйдет из зоны разгрузки (с другой стороны) уже под прямым углом (см. рис. 109, б, в). То есть по рисунку можно определить, куда двигался элемент.

Еще одно специфическое условие. В ранее рассмотренных примерах задавалось, что элемент в зоне разгрузки разгружает составляющую потенциала в направлении, параллельном элементу. В направлении же перпендикулярном величина потенциала оставалась неизменной. Теперь зададим, что в этом направлении возле элемента величина потенциала возрастает (или, что тоже бывает, снижаются значения пороговой функции). В таких условиях при появлении первого коротенького линейного элемента от него тут же перпендикулярно отойдут два новых — возникнет крестообразное сочленение. Новые элементы здесь уже образоваться не смогут, гак как взаимно-перпендикулярные элементы разгружают возле точки своего пересечения потенциал во всех направлениях. При дальнейшем удлинении элементов, как только их вершины отойдут от точки пересечения на величину большую, чем l, возникнут новые элементы — «притоки».

А теперь остановимся на двух примерах, показывающих развитие таких рисунков. Представим прямоугольный массив с однородным изотропным потенциальным полем Е < Р. Зададим границы структурными элементами лишь разгружающими массив (без концентрации у кромки). Искусственно зададим в центре прямоугольника микронеоднородность, в которой появится одиночный элемент, в вершинах которого происходит высокая концентрация потенциала (такие элементы могут двигаться даже при условии Е < Р). Примем, что элементы не могут подходить один к другому и при встрече вершин стремятся разойтись. Это, например, может произойти, если элемент непосредственно возле своей вершины концентрирует потенциал, а на удалении разгружает его. Можно обеспечить это также тем, что потенциал вокруг вершины частично разгружается, а движется она за счет снижения «прочности» в вершине. При таких условиях сформируется структура, подобная изображенной на рис. 110. При ее разрастании постоянно возникает ситуация конкуренции, опережающее развитие одного элемента сдерживает другой, встречный.

Рассмотрим ситуацию, при которой конкуренция выражена в еще большей степени. Зададим на одной из сторон прямоугольника несколько глубоких затравочных неоднородностей, в которых возникнут элементы. Примем, что в пределах всего массива Е < Р, но поле неоднородно, у стороны с неоднородностями величина потенциала наименьшая. Остальные условия примем такими, как и в предыдущем примере. В этом случае возникшие здесь элементы будут стремиться к противоположной стороне. Причем чем дальше они продвинутся, тем выше будет скорость их движения, так как величина потенциала в этом направлении возрастает. В такой ситуации элемент, «вырвавшийся» вперед, для остальных недосягаем (рис. 111).

Если в этом же массиве поместить неоднородность в центре, то все элементы, зародившиеся в этой точке, будут стремиться развернуться в сторону максимального потенциала. При этом те из них, которые первоначально были ориентированы в этом направлении, для других недосягаемы (рис. 112).

Рис. 110

Рис. 111

Рис. 112

Рис. 113

Если потенциальный рельеф имеет вид конуса, то элементы, зарождающиеся на его вершине и появляющиеся при ветвлении, будут стремиться развернуться к центру (рис. 113). Если бы в последних примерах в потенциальном рельефе был задан гребень, то на нем бы образовалась доминирующая ветвь (ствол) структуры. А теперь представим, что во всех этих примерах с ветвлением появление на главной ветви бокового притока тут же исключает появление в этом месте притока с противоположной стороны. Облик рисунков не изменится, но притоки с разных сторон на главных ветвях будут расположены в противофазе. Подчеркнем, что для образования сильно разветвленных структур необходимо, чтобы элементы могли «вырваться вперед» и захватить обширное поле ресурсов. В условиях внешне заданной смещающейся границы структурообразования элементы не могут за нее выйти, и сформируется множество тощих мало разветвленных ветвей.

Рис. 114

Рис. 115

Рис. 116

Теперь рассмотрим еще один вариант создания рисунка. Зададим, что потенциал — скаляр, а в вершине элемента происходит сильная его концентрация. Движется вершина в сторону больших значений потенциальной функции и позади себя на ширину l полностью разгружает потенциал.

Подобные примеры мы рассматривали ранее, но там элементы возникали в точке Е = Р. Здесь же мы будем первичное положение элемента задавать сами, не дожидаясь, пока Е достигнет Р, и соответственно можем контролировать число элементов. Ограничимся пока одним элементом, причем примем, что движется лишь один его конец. Зададим, что вершина элемента не обладает инерцией (легко разворачивается) и движется даже при малых значениях потенциала. Останавливается она лишь тогда, когда в ее окружении везде Е = 0, т. е. мы приняли очень высокую концентрацию потенциала в вершине элемента. Структуры, возникающие в этих условиях, показаны на рис. 114—119. На рис. 120, 121 показаны структуры, возникающие при одновременном появлении двух точек. На этих рисунках мы видим, как элементы, полностью разгрузив потенциал в доступном пространстве, останавливаются. Теперь зададим, что на линии потенциал разгружен полностью, а при удалении от него степень разгрузки линейно снижается и на расстоянии l потенциал совсем не разгружен. В этом случае между двумя параллельными следами всегда будет оставаться гребень ненулевых значений потенциала, и элемент будет иметь возможность выйти из тупика по этому гребню. Дальнейшее развитие некоторых из только что рассмотренных структур до стадии появления элементов третьей генерации показано на рис. 122, 123.

Рис. 117

Рис. 118

Рис. 119

Рис. 120

Рис. 121

Рис. 122

Рис. 123

Вариантов пороговой и потенциальной функций и их разгрузки можно задать неограниченно много, соответственно и многообразие рисунков бесконечно.

Мы рассмотрели и показали лишь простейшие, элементарные рисунки, составленные из линейных элементов, — задавались фиксированная ширина зоны разгрузки и линейное распределение ее величины. Но возможны и другие варианты. Например, можно задавать, что ширина зоны разгрузки зависит от длины элементов или от значений потенциала в этой точке. От длины элемента может зависеть и степень концентрации потенциала в его вершине. Величины разгрузки соседних элементов могут быть взаимосвязаны, например, могут суммироваться. Ширина зоны разгрузки с одной стороны элемента может отличаться от разгрузки с другой. Появление бокового притока может стимулировать его появление с противоположной стороны, а может и наоборот — исключить. Потенциальный рельеф по мере своего воздымания может изменять свою общую первоначальную конфигурацию. Со временем может измениться и направление главной составляющей потенциала. Все эти варианты мы рассматривать не будем. Оставим для самостоятельного изучения и задачу о развитии в одном пространстве взаимосвязанных линейных элементов разной природы. При желании читатель, наверно, и сам сможет конструировать соответствующие этим условиям абстрактные структуры. Сейчас же вернемся к конкретным рисункам.