Книга: Общая химия

27. Энергетическое состояние электрона в атоме.

27. Энергетическое состояние электрона в атоме.

Для электрона, находящегося под действием сил притяжения к ядру, уравнение Шредингера имеет решения не при любых, а только при определенных значениях энергии. Таким образом, квантованность энергетических состояний электрона в атоме (т.е. первый постулат Бора) оказывается следствием присущих электрону волновых свойств и не требует введения особых постулатов.

Для лучшего понимания последнего утверждения рассмотрим упрощенную модель атома, «одномерный атом», в котором электрон может совершать лишь колебательные движения между крайними точками.

- 71 -

Будем считать также, что границы атома непроницаемы для электрона, так что он может находиться только внутри атома. Мы уже знаем, что состояние электрона в атоме характеризуется некоторой волной («волна де Бройля»). Но было бы неправильно представлять себе распространение этой волны как нечто подобное движению волны, образовавшейся на поверхности воды от брошенного камня: водяная волна неограниченно удаляется от места своего образования и постепенно расплывается, она не обладает устойчивостью во времени, тогда как электрон в атоме устойчив. Поэтому более правильной будет аналогия между состоянием электрона в атоме и состоянием звучащей струны. На которой образуются так называемые стоячие волны.

На рис. 6 схематически изображены стоячие волны, возникающие на колеблющейся струне, крайние точки которой закреплены. В точках, обозначенных буквой n, возникают пучности — здесь амплитуда колебания максимальна, в точках y струна не колеблется — это узлы, в которых амплитуда колебания имеет промежуточные значения. Поскольку конечные точки струны закреплены, здесь обязательно возникают узлы. В отличие от обычной «бегущей» волны, стоячая волна не перемещается в пространстве и не переносит энергии, которая лишь передается от одних точек струны к другим. Нетрудно видеть (рис. 6), что на струне с закрепленными концами длина стоячей волны может быть не любой, а только такой, чтобы на всей струне укладывалось целое число полуволн:  одна (рис. 6, а), две (рис. 6, б), три (рис. 6, в) и т.д.

В рассматриваемой одномерной модели атома волна де Бройля тоже должна быть стоячей: это следует из того, что выйти за границы атома электрон не может и, следовательно, на границах атома волновая функция ? (т.е. амплитуда волны) должна обращаться в нуль. Поэтому рис. 6 может рассматриваться как модель одномерного атома со стоячими волнами де Бройля, которые могут в этом атоме образоваться.

Если длина одномерного атома равна l, то для случаев а, б, и в на рис. 6 длина волны де Бройля будет выражаться следующим образом:

?₁ = 2l = 2l/1

?₂ = l = 2l/2

?₃  = 2l/3

Следовательно, стоячая волна может образоваться только при условии

?  = 2l/n

где n — 1, 2, 3, ..., т.е. целое число.

Рис. 6. Стоячие волны на струне.

- 72 -

С другой стороны, согласно уравнению де Бройля

? = h / mv

Приравнивая правые части двух последних уравнений, получим для скорости электрона v выражение:

v = hn / 2 ml

Теперь, зная скорость электрона v, можно найти его кинетическую энергию Е:

E = mv² / 2 = h²ⁿ² / 8 m l²

Поскольку n — целое число, то последнее выражение показывает, что энергия электрона в одномерном атоме не может иметь произвольные значения: при n = 1 она равна величине дроби h² / 8 m l² , при  n = 2 она в 4 раза больше, при  n = 1 — в 9 раз больше и т.д. Таким образом, в случае одномерного атома волновые свойства электрона, выражаемые уравнением де Бройля, действительно имеют следствием кватованность энергетических состояний электрона. При этом допустимые уровни энергии электрона определяются значением целого числа n, получившего название квантового числа.

Разумеется, найденное выражение для энергии электрона относится к упрощенной модели атома. Но и для реального атома решение уравнения Шредингера также приводит к выводу о квантованности энергетических состояний электрона в атоме.

Модель одномерного атома позволяет понять, почему электрон, находящийся в атоме в стационарном состоянии, не излучает электромагнитной энергии (второй постулат теории Бора). Согласно модели Бора- Резерфорда, электрон в атоме совершал непрерывное движение с ускорением, т.е. все время менял свое состояние; в соответствии с требованиями электродинамики, он должен при этом излучать энергию. В одномерной модели атома стационарное состояние характеризуется образованием стоячей волны де Бройля; пока длина этой волны сохраняется постоянной, остается неизменным и состояние электрона, так что никакого излучения происходить не должно.

Становится ясным и вопрос о состоянии электрона при переходе из одного стационарного состояния в другое (в терминологии Бора — с одной стационарной орбиты на другую). Если, например, электрон из состояния, отвечающего рис. 6, а, переходит в состояние, соответствующее рис. 6, б, то во время этого перехода длина волны де Бройля будет иметь переменное значение, не отвечающее условию образования стоячей волны. Именно поэтому состояние электрона в этот промежуток времени будет неустойчивым; оно будет меняться до тех пор, пока длина волны де Бройля не будет вновь соответствовать условию образования стоячей волны, т.е. пока электрон не окажется в новом стационарном состоянии.

- 73 -

В упрощенной одномерной модели атома положение электрона относительно ядра определяется одной координатой, а его состояние — значением одного квантового числа. В двумерной (плоской) модели атома положение электрона определяется двумя координатами; в соответствии с этим, его состояние характеризуется значениями двух квантовых чисел. Аналогично в трехмерной (объемной) модели атома состояние электрона определяется значениями трех квантовых чисел. Наконец, изучение свойств электронов, входящих в состав реальных атомов, показало, что электрон обладает еще одной квантованной физической характеристикой (так называемый спин, см. § 30), не связанной с пространственным положением электрона. Таким образом, для полного описания состояния электрона в реальном атоме необходимо указать значения четырех квантовых чисел.