Книга: Сейчас. Физика времени

Математика гравитационного эффекта времени

Математика гравитационного эффекта времени

Эйнштейн постулировал, что течение времени в гравитационном поле можно рассчитать исходя из предположения, что оно эквивалентно течению времени в ускоряющейся системе отсчета. Этим мы сейчас и займемся.

Предположим, у нас имеется ракета высотой h, которая находится в такой области пространства, где отсутствует гравитация. Ракета движется носом вперед с ускорением, соответствующим ускорению свободного падения в поле тяготения Земли, g = 32 фута в секунду в квадрате (9,8 м/с2). Будем считать, что верх и низ ракеты ускоряются одновременно в системе отсчета, связанной с первоначальной позицией ракеты. Через время ?t система отсчета, связанная с ракетой, движется со скоростью v = g?t относительно первой СО (при условии, что начальная скорость ракеты равна нулю).

Воспользуемся уравнением из примера про тахионное убийство, чтобы вычислить соответствующий интервал времени в верхе ракеты:

Подставив ?x = h и v = g?t и считая приближенно (для нерелятивистских скоростей), что ? = 1 (? ? 0), получим:

Разделим на ?t:

Отсюда видно, что на высоте h интервал времени для верха, ?T, меньше, чем интервал времени в нижней части, ?t. Часы в верхней части ракеты идут быстрее. В более общем случае это уравнение часто записывается как:

где ? – разность гравитационных потенциалов. К примеру, потенциал на поверхности Земли, в сравнении с бесконечностью, будет: ? = GM/R, где M – масса Земли, G – гравитационная постоянная, а R – радиус Земли.

Во многих учебниках эта формула выводится совершенно иначе, из красного смещения света, направленного с верхушки некоего ящика к его основанию. Я предпочитаю тот подход, который только что изложил, потому что в нем явно используется принцип эквивалентности, положенный в основу общей теории относительности Эйнштейна; в этом подходе видно, что эффект возникает благодаря слагаемому xv/c? в уравнениях Лоренца – тому самому слагаемому, которое приводит и к нарушению одновременности.