Книга: Сейчас. Физика времени

Математика парадокса шеста и сарая

Математика парадокса шеста и сарая

Обратимся вновь к главе 4. В системе отсчета, связанной с сараем, шест входит концом в дверь и продолжает двигаться, пока не упрется в заднюю стену. Определим t₁ = 0 как момент, когда передний конец шеста доходит до задней стены, и выберем систему координат так, что в этой точке x₁ = 0. Из-за лоренцева сжатия в системе отсчета, связанной с сараем, задний конец шеста поравняется с дверью в этот же момент, при t₂ = 0, в точке x₂ = ?6 м.

Теперь рассчитаем, что происходит в системе отсчета, связанной с шестом. Передний конец шеста упрется в заднюю стену сарая в момент T₁ с учетом уравнения преобразования Лоренца:

Задний конец шеста поравняется с дверью в момент:

Вычислив v/c из ? = 2, получаем ? = v/c = 0,866. Таким образом:

Воспользовавшись значением скорости света c = 3·10⁸ метров в секунду (м/с), получим, что шест целиком войдет в сарай за T2 = 34,64/10⁹ с = 34,64 ? 10^?9 с. Так что в момент, когда передний конец шеста упрется в стену, задний его конец еще не дойдет до двери. Она поравняется с ней через 34,64 наносекунды (миллиардной доли секунды).

Вычислим в системе отсчета, связанной с шестом, где будет находиться его задний конец, когда передний упрется в стену. Воспользуемся уравнением:

Решив его относительно X₂ и подставив v = 0,866c, x₂ = ?6 метров и T₂ = 10,392/c, получаем:

Этот ответ вполне соответствует нашим ожиданиям. В системе шеста, когда передняя его часть упирается в стену, задняя находится от нее на расстоянии ?12 метров. Эта точка отстоит на 12 метров от задней стены сарая, что соответствует данным, что шест в этой системе отсчета имеет длину 12 метров.

Разрешение парадокса кроется в том, что два конца шеста одновременно находятся внутри сарая в системе отсчета, связанной с сараем, но в системе, связанной с шестом, они, хотя и попадают оба внутрь сарая, но делают это не одновременно: задний конец шеста проходит в дверь чуть позже, чем передний упирается в стену. Когда шест оказывается внутри, если его движение внезапно прекращается (оба конца шеста в системе сарая останавливаются одновременно), он потеряет свое линейное сжатие и внезапно удлинится до полной 12-метровой длины, проломив при этом какую-то из стен сарая или обе.