Книга: Солнечная система (Астрономия и астрофизика)

Притяжение и форма небесных тел

Многие искусственные спутники Земли (ИСЗ) летают низко, почти царапая Землю: в масштабе школьного глобуса (1:50000000) не далее сантиметра от него. Тут уж даже Землю шаром считать нельзя, хоть на глазок это и незаметно. А вот Юпитер и особенно Сатурн обладают отчетливо видимым сжатием. Одним словом, чтобы идти дальше, надо разобраться с формой небесных тел и их притяжением.

Начнем с последнего. Пусть нам известна форма и строение протяженного небесного тела Т. Как определить силу тяготения, с которой Т притягивает какую-либо частицу Q? Перейдем к ускорению — оно не зависит от массы пробной частицы (уникальное свойство гравитационного поля, открытое Г. Галилеем). Поэтому можно считать, что Т создает вокруг себя (и в себе самом тоже) поле ускорений, математически точное описание гравитационного поля. Как найти его? Разобьем мысленно Т на столь малые кубики, чтобы их размерами можно было бы пренебречь по сравнению с расстоянием до Q (рис.5).

Рис.5

Вектор ускорения ws, сообщаемого Q со стороны s-гo кубика, равен согласно (1)

ws=—(Gms/rs³)r_s     (6)

Поясним, откуда взялся минус и куб в знаменателе. Модуль ускорения равен Gms/rs², и он умножен на единичный вектор —rs/rs направления от массы ms к точке Q (рис.5). Полное ускорение равно векторной сумме (6) по всем кубикам. Разумеется, так получается приближенная величина. Чтобы вычислить точную, нужно перейти к пределу, устремляя ребро кубика к нулю. В пределе получим тройной интеграл по телу Т. С помощью хорошего компьютера интеграл взять нетрудно. Но ведь даже для данного тела его нужно считать в огромном количестве точек пространства. Чаще всего идут другим путем. Как уже говорилось, Ньютон сумел вычислить интеграл для шара со сферическим распределением плотности и убедился, что внешние частицы шара притягивают в точности как материальная точка той же массы, помещенная в его центре. А дальше П.-С. Лаплас предложил следующую схему определения гравитационного поля Т. Во-первых, проще вместо векторного поля ускорений иметь дело со скалярным полем гравитационной потенциальной энергии Е_р единицы массы Q. Оба поля однозначно определяют друг друга. Во-вторых, представим поле в виде ряда, т.е. суммы бесконечного числа слагаемых:

Е_р=V₀+V₁+V₂+…      (7)

Здесь начальное слагаемое описывает притяжение шара с центром в центре масс Т и нам уже известно из формулы (4): V₀=—К²/r. В отличие от силы, потенциал шара убывает обратно пропорционально первой степени расстояния от центра масс Т. Следующие слагаемые Vs убывают обратно пропорционально r^s+1, причем V₁=0. Если Q далеко, то достаточно взять несколько первых членов (7) или даже только начальный член, чтобы получить удовлетворительную точность. Иными словами, гравитационное поле любого тела с удалением от него все больше напоминает поле шара, в полном соответствии с наблюдением древних софистов, что издали и квадратная башня кажется круглой. Для близких Q (например, если Т — Земля, Q — ИСЗ) для высокоточного определения гравитации надо брать десятки и сотни слагаемых. Каждое из них представляет не очень сложную функцию координат точки Q. Например,

V₂=(A₁x²+A₂y²—(A1+A2)z²+A₃xy+A₄yz+A₅zx)/r⁵

Важно, что Vs содержит числовые коэффициенты. Например, в V₂ их пять: A₁?А₅. Эти коэффициенты можно определить, измеряя гравитационный потенциал, или ускорение на поверхности тела или вблизи нее. А можно следить за движением его искусственных спутников. В любом случае мы получаем систему многих алгебраических уравнений со многими неизвестными (коэффициентами типа As). Ее решение непросто, но современная математика и вычислительная техника с этим справляется.

Итак, мы описали два способа представления гравитационного поля любого тела: тройным интегралом и рядом Лапласа. Существует еще несколько способов, и в каждой конкретной задаче можно выбрать оптимальный.

Перейдем к вопросу о форме, которую придает гравитация небесному телу. Пусть выполнены следующие три допущения. Во-первых, тело изолировано и компактно, т.е. никакие другие тела на него не действуют, а самогравитация значительна. Во-вторых, тело находится в жидком, газообразном или пластическом состоянии. В третьих, в теле нет источников энергии. Насколько реальны эти допущения?

1. Полной изолированности, конечно, нет. В качестве примера сравним силы, с которыми притягивают каждого из нас Земля (F₁) и Луна (F₂). В подлунной точке (там, где Луна видна в зените) в момент, когда Луна в перигее своей орбиты, F₂ максимальна. Но и тогда F₂/F₁?4?10^-6. На самом деле влияние Луны на форму Земли еще меньше. Именно оно вызывает приливы, о чем еще будет рассказано. Сейчас достаточно заметить, что изолированность в Солнечной системе выдержана в очень хорошем приближении.

2. Солнце состоит из газа, планеты-гиганты тоже, с возможным включением жидкой и твердой фазы в центральных слоях, что несущественно. Земля же тверда, и только в центральной части присутствует жидкая фаза. Но на длительные воздействия Земля отвечает как пластическое тело, течет, как воск. — А горы? — спросите вы. Да, некоторые напряжения твердая земля может выдержать. Горы не сплющиваются, впадины не заполняются у нас на глазах. Но высота гор не может превзойти значения порядка 10 км, иначе давление превысит критическое, вещество подошвы станет пластическим, начнет расползаться под действием веса, и в результате высота горы уменьшится.

Подобная пластичность наблюдается у всех больших тел, вплоть до 500 км в диаметре. У малых тел, меньших 200 км в диаметре, гравитация незначительна, предположение пластичности не выполняется. Промежуточный случай 200-500 км с трудом поддается анализу, поскольку нужно знать древнюю историю тел. Если они подвергались сильному нагреву, то в это время были текучими и успели принять форму, диктуемую гравитацией. В противном случае они представляют собой бесформенные глыбы.

3. У планет земной группы, спутников, малых планет внутренние источники энергии существуют в виде рассеянных — в основном в коре — радиоактивных элементов. Но их энерговыделение крайне незначительно и может вызвать перемешивание вещества со скоростями разве что в сантиметры за год. Юпитер выделяет тепло за счет продолжающегося сжатия. Это приводит к конвекции вещества и дифференциальному вращению (период оборота вокруг оси зависит от широты и глубины). Солнце и большинство нормальных звезд спокойно выделяет энергию ядерных реакций, происходящих в центральной части. В результате мы наблюдаем конвекцию и дифференциальное вращение, как у планет группы Юпитера. Это вносит незначительные поправки в чисто гравитационную форму небесных тел.

Можно заключить, что все три предположения выполняются для крупных тел Солнечной системы и для большинства звезд. Хотя бы одно из них неверно для тесных двойных звезд, туманностей и молекулярных облаков, мелких (менее 200-300 км в диаметре) тел, бурно выделяющих энергию звезд. Эти случаи исключим из рассмотрения. Какую форму примет самогравитирующее неподвижное небесное тело? Без всяких вычислений ясно, что форму шара, причем плотность вещества будет зависеть лишь от расстояния до центра шара, убывая от центра к краю. Всякое поднятие над поверхностью должно расползтись, выемка — заполниться, всякое более тяжелое включение должно опуститься, более легкое — всплыть. А нет ли еще каких-либо неожиданных экзотических фигур равновесия неподвижного тела? Нет, и это доказал наш великий соотечественник А.М. Ляпунов (1857—1918), петербургский академик. Как обычно, доказательство несуществования оказалось очень сложным. Стоило ли вообще им заниматься? Стоило, ведь интуиция может подвести, как это видно на примере эллипсоидов Якоби и груш Пуанкаре (см. ниже). Вот откуда шарообразность Луны, Земли, Солнца и множества других небесных тел: правит бал гравитация, а не мифическое совершенство небес.

Теперь включим вращение. В наших предположениях тело будет вращаться вокруг неподвижной оси как целое. Такое вращение называют твердотельным: тело жидкое, но вращается, как будто оно твердое, так что расстояния между частицами неизменны. Действительно, всякие внутренние течения без источников энергии должны в конце концов затухнуть из-за трения.

Раз вращение твердотельно, естественно рассматривать положение каждой частицы в системе отсчета, жестко связанной с небесным телом, вращающейся вместе с ним. Именно такая система естественна для всех, кроме космонавтов. Сидя на стуле, мы считаем себя неподвижными, хотя вертимся вместе с Землей с угловой скоростью 1 оборот в сутки, чему соответствует линейная скорость на экваторе 460м/с (в Петербурге она снижается до 230м/с). Однако вращающаяся система, как принято говорить в физике, неинерциальна. Это значит, что правильное описание движений в такой системе достигается введением сил инерции. В случае равномерного вращения вокруг неподвижной оси таких сил две: кориолисова и центробежная. Кориолисова действует лишь на движущиеся в нашей системе частицы и исчезает, если они не перемещаются друг относительно друга. Центробежная направлена прочь от оси вращения (правильнее было бы говорить об «осебежной» силе, но так не принято) и сообщаемое ею ускорение равно ?²R, где ? — угловая скорость, R — расстояние до оси. Частица ощущает лишь векторную сумму двух сил: тяготения и центробежной. Сумма эта называется силой тяжести. Направление последней воспринимается как «низ», противоположное — «верх».

Поверхность находящейся в равновесии фигуры должна быть перпендикулярна силе тяжести. Тогда маленький участок поверхности кажется горизонтальным. В противном случае этот участок будет наклонным, и жидкость потечет сверху вниз. Ясно, что шар уже не может служить фигурой равновесия. Она должна быть сжата у полюсов (рис.6). Чтобы найти поверхность тела T, нужно перевести выделенные курсивом слова на язык уравнений и решить их. Вы знаете немало примеров того, как коротенькая формула заменяет долгое и неуклюжее словесное описание. Здесь ситуация противоположна: коротенькая фраза, выражающая физический смысл явления, приводит к сложным и громоздким уравнениям. Ведь тяготение описывается тройным интегралом по телу, форма которого неизвестна! Задача о форме небесных тел далека от окончательного решения, хотя основные результаты получили еще классики: И. Ньютон, К. Маклорен, Дж. Дарвин (Великобритания), П. Лаплас, Э. Рош (Франция), К. Якоби, Л. Лихтенштейн (Германия), П.Л.Чебышёв, А.М. Ляпунов (Россия), С. Чандрасекар (Индия, США) и другие.

Рис.6. Силы, действующие на поверхностную частицу тела во вращающейся вокруг оси z системе отсчета: F₁ — сила тяготения, F₂ — центробежная сила, F — результирующая сила тяжести. Слева — сечение шара, справа — фигуры равновесия; ГГ — линия математического горизонта.

Не слишком быстро вращающееся однородное тело принимает форму сжатого эллипсоида вращения (эллипсоида Маклорена). Его параметры — большая и малая полуоси — однозначно определяются массой и угловой скоростью вращения (рис.7). Если вращать быстрее, появляются трехосные эллипсоиды (эллипсоиды Якоби). Их открытие — а они появились как решение некоторой системы уравнений — повергло ученый мир в изумление. Интуиция ясно говорила, что однородное вращающееся тело должно быть телом вращения, каламбур воспринимался как тавтология! Ан нет! Вращение тела не обязано давать тела вращения! Потом были открыты еще более экзотические тела: вращающиеся на боку груши и даже тела с волнистой поверхностью. Правда, подобная экзотика существует только на бумаге (употребим старое выражение, как-то неловко звучит «на электронных носителях»). Реальные тела вертятся медленно, и для них выполнена теорема Ляпунова: фигура равновесия осесимметрична и обладает экватором, т.е. каждое меридиональное сечение одинаково, северное и южное полушария одинаковы. Даже скучновато немного. Но природа изощренна и сумела обойти ограничения Ляпунова в тесных двойных и полуразделенных системах, где нарушено условие изолированности.

Рис.7. Формы вращающихся тел. Указаны последовательности фигур равновесия несжимаемых, «жидких» тел (сплошные линии) и сжимаемых, газовых тел (пунктир). Оси вращения у всех фигур на рисунке расположены вертикально.

Небесные тела лунных и более размеров резко неоднородны: плотность в центре существенно превышает плотность у поверхности. Для Земли — на порядок, для Юпитера — на 4-5 порядков, для Солнца — на 7 порядков. Так что однородные фигуры равновесия служат лишь крайне упрощенными моделями. Но в случае медленного вращения форму поверхности можно представить аналогичным (7) рядом Ляпунова:

?(?)= R[?₀(?)+?₁(?)+?₂(?) +…]       (8)

Тут требуются пояснения. Форму поверхности вращения естественно задавать уравнением r=?(?), связывающим широту ? с расстоянием от поверхности до центра масс r функциональной зависимостью ?. Таков смысл левой части (8). В правой части R — характерный размер тела, например, радиус равновеликого шара. Тогда ?₀ тождественно равна единице, так что в нулевом приближении тело является шаром r=R — const. Остальные члены ряда дают малые поправки, причем ?s пропорциональна qs. Здесь q=?²R³/(GM) представляет собой безразмерный малый параметр, равный отношению центробежной силы к силе тяготения на экваторе шара массы М и радиуса R. Для Земли, Юпитера, Солнца q равно соответственно 0,0034; 0,083; 0,00002. Наибольшим значением q=0,139 в Солнечной системе обладает Сатурн.

Функция ?₁ имеет вид ?₁(?)= Aq(1—3sin²?), где число А определяется распределением масс внутри тела Т. Для однородного тела А=5/12. Для противоположного крайнего случая сосредоточенной в центре массы, окруженной невесомой атмосферой, А=1/6. Остальные ?s можно найти последовательно методом Ляпунова.

Функция ?, представляющая поверхность сжатого эллипсоида вращения Е, также может быть разложена в ряд (8), причем ?₀=1. ?₁=е²(1—3sin²(?))/6, где е — эксцентриситет меридионального сечения. Подбирая его так, чтобы Aq=е²/6, добьемся совпадения R?₀ и R?₁ у Т и Е. Таким образом, любая фигура равновесия в нулевом приближении — шар, в первом — сжатый эллипсоид вращения.