Книга: Солнечная система (Астрономия и астрофизика)

Эволюция планетной системы

Если предположить, что планеты притягиваются только Солнцем и не оказывают воздействия друг на друга, то они описывают кеплеровские эллипсы. Каждая планета с некоторым периодом Т возвращается на прежнее место. Периоды у планет различны и общего для всех периода не существует. Так что движение планетной системы не является периодическим с точки зрения математики. Напомню, что в математике явление называется Т-периодическим, если по прошествии времени Т система возвращается в прежнее состояние. Но в природе лишь исключительно простые процессы могут быть такими, например, колебания маятника.

Рассмотрим более сложную систему: смена времен года. Скажем, 1 июля в одном и том же месте в разные годы погода бывает разной, и можно говорить лишь о приблизительной периодичности. Но точные науки не терпят приблизительных терминов. Изобретено понятие квазипериодичности для явления, раскладывающегося на сумму периодических (создателем теории квазипериодических функций был рижский профессор П.Г. Боль).

Невозмущенное движение планет квазипериодично. В сумму скольких периодических процессов оно раскладывается? Вопрос кажется тривиальным — конечно, n, если через n обозначить число планет. Это так, но нельзя ли уменьшить число процессов до n₀<n? Оказывается, иногда можно. Рассмотрим два процесса с периодами Т₁ и Т₂. Пусть T₁/T₂=р₁/р₂, где р₁, р₂ — целые взаимно-простые числа. Тогда оба процесса имеют общий период Т=р₂Т₁=р₁Т₂. Например, если две планеты имеют периоды обращения Т₁ и T₂, то по прошествии времени Т первая планета совершит р₂ оборотов, вторая — р₁ оборотов и обе окажутся на прежнем месте. В таком случае говорят о резонансе, точнее, о резонансе р₁:p₂ в движении планет. Если же таких целых чисел p₁, р₂ не существует, то говорят об отсутствии резонанса в системе.

Итак, при отсутствии резонанса в системе из n планет имеется n независимых периодов, в случае резонанса число последних n₀ меньше n.

Маленькое пояснение. Сформулированное определение резонанса прекрасно с математической точки зрения, но не годится в естественных науках. Ведь речь идет о рациональности или иррациональности числа ?=Т₁/Т₂. Только в модельных задачах периоды известны точно и определение имеет смысл. В реальности Т₁, Т₂ измеряются с некоторой погрешностью. Как бы мала она ни была, различить рациональный и иррациональный случай невозможно в принципе. На практике важно, можно ли представить число ? в виде отношения двух небольших целых чисел р₁:p₂ плюс малая поправка, или нельзя. Если можно, то по прошествии небольшого времени Т система практически вернется в прежнее положение. Например, пусть ?=2/3+10^—4?. По истечении времени Т=ЗТ₁ первый процесс вернется в прежнее положение, а фаза второго сместится всего на тысячную долю окружности, т.е. на треть градуса. Резонанс налицо. Если нельзя, то система вернется в близкое положение очень нескоро. Пусть, например, ?=1597/987 (подходящая дробь для «золотого» числа (1+?5)/2). Система вернется в прежнее положение только через огромное время 987Т₁=1597Т₂. Резонанса нет.

Оказывается, наша Солнечная система устроена так, что массивные тела (восемь больших планет от Меркурия до Нептуна) не резонируют друг с другом. Если перевести колебания планет (а по каждой из координатных осей они колеблются!) в звуковые, то мы услышим не «музыку сфер», а что-то вроде какофонии в оркестре к концу антракта, когда каждый музыкант независимо от других настраивает свой инструмент. Напротив, среди малых тел много резонирующих с большими и друг с другом. Таковы десятки спутников, тысячи малых планет и даже Плутон (напомню, что его масса в шесть раз меньше лунной). Пока он делает два оборота вокруг Солнца, Нептун успевает обежать его ровно три раза.

Примем теперь во внимание взаимное притяжение небесных тел. Масса самой большой планеты, Юпитера, в тысячу с небольшим раз меньше Солнечной. Примерно во столько же раз ускорение каждой планеты, вызванное притяжением других планет, меньше ускорения к Солнцу. Дифференциальное уравнение движения можно записать в форме

w=F₀+µF₁      (10)

Здесь индексом 0 отмечено основное ускорение, индексом 1 — вызванное притяжением планет друг к другу возмущающее ускорение; малый параметр µ~0,001. Уравнений типа (10) надо написать несколько, по числу планет. Движение при µ=0 нам известно. При истинном малом значении µ траектория чуть-чуть отклоняется от невозмущенной. Допустимо считать, что орбита по-прежнему является эллипсом, но его элементы (большая полуось, эксцентриситет и т.д.) медленно меняются со временем со скоростью порядка µ. Этот прием мы уже рассматривали на примере ИСЗ.

Фундаментальный вопрос: накапливаются ли возмущения со временем или колеблются около некоторого среднего значения? В первом случае мы говорим о вековых возмущениях; за время T₀/µ орбиты менялись бы до неузнаваемости. Здесь Т₀ — характерный период, 10 лет для Солнечной системы, примерно год Юпитера. Критическое время T₀/µ равно всего десяти тысячам лет, совсем немного в истории Земли. К нашему счастью, при отсутствии резонансов возмущения большой полуоси, эксцентриситета и наклона не накапливаются, эти важнейшие для жизни на Земле элементы лишь колеблются в узких пределах.

Надо сказать, что к этому результату математики и астрономы шли три столетия. Очень уж трудно доказать эту теорему, ведь уравнения (10) настолько сложны, что до сих пор не найдено в аналитическом виде их общего решения, пригодного на космогонических временах порядка T₀/µ³. Ньютон полагал, что возмущения накапливаются. В образах того времени Великий Часовщик создал часы не абсолютного совершенства, нуждающиеся в ремонте один раз в несколько десятков тысяч лет. Лаплас и Лагранж продлили устойчивость движения планет до миллионов лет. В свое время это вызвало бурный энтузиазм в образованных кругах, результат Лапласа-Лагранжа назвали теоремой об устойчивости Солнечной системы. Забавно, что теорема эта приятна и теистам (Часовщик создал часы высочайшего совершенства), и атеистам (Часовщик не нужен, по Пушкину — и без него все шло своим порядком). Во второй половине XX в. советские математики А. Н. Колмогоров, В.И. Арнольд и независимо их американский коллега Ю. Мозер продлили время устойчивости до миллиардов лет. Их результаты уточняются и сейчас, но главное уже сделано.

Любопытно, что факт устойчивости по крайней мере земной орбиты давно известен геологам и палеонтологам. С человеческой точки зрения климат Земли сильно менялся с геологическими эпохами. Но во всяком случае океаны никогда не покрывались сплошным льдом и никогда не нагревались выше 40°С. В первом случае океаны бы никогда не растаяли, так как бело-голубая Земля отражала бы почти все падающее на нее излучение Солнца в космос. Некому было бы читать эту книгу, да и написать ее. Во втором случае мы бы наблюдали грандиозные вымирания растительного и животного мира, по сравнению с которыми гибель динозавров показалась бы мелкой неприятностью. Следовательно, Земля получала от Солнца примерно столько же энергии в прошлом, сколько она получает сейчас. Последние 3 млрд. лет Солнце обладает почти постоянной светимостью. Значит, большая полуось и эксцентриситет земной орбиты существенно не менялись.

Стоит обратить внимание на слова примерно и почти. Колебания эксцентриситета амплитудой в 0,03—0,04 имеют место; ими, согласно хорошо аргументированной гипотезе югославского ученого М. Миланковича, объясняются ледниковые периоды в плейстоцене.

Итак, орбиты восьми больших планет около 4 млрд. лет назад приняли современный вид и с тех пор оставались примерно такими же. А Плутон? Мы помним о его резонансе с Нептуном. Оказывается, в резонансном случае эволюция сильно зависит от фазы. Орбиты Плутона и Нептуна близки к пересечению, расстояние между ними менее 2 а.е. При сближении Плутон перешел бы на существенно другую орбиту, а после серии сближений упал бы на Нептун, или Солнце, или был бы выброшен за пределы Солнечной системы. Но фазы «подобраны» так, что в точках сближения орбит планеты никогда не бывают вместе, расстояние между ними всегда больше 18 а.е. Доказано, что такое состояние длится многие миллиарды лет, орбита Плутона устойчива и сохраняет резонансность с Нептуном. Желающие могут связать это с мудростью Часовщика; нежелающие — с естественным отбором. Начиная с 1992 г. открыты уже сотни планеток диаметрами порядка сотен километров, двигающиеся по схожим с плутоновой орбитам. Они устойчивы, поэтому мы их и видим. Множество же тел, попавших на неустойчивые орбиты, исчезло так, как описано чуть выше.