Книга: Земля и космос. От реальности к гипотезе

Глава 6 Бросая мяч

Глава 6

Бросая мяч

Несколько лет назад я посетил свой родной университет в штате Колумбия, со студентами которого у меня состоялась довольно интересная беседа. По ее окончании студенты преподнесли мне очень своеобразный подарок.

Это оказалась футболка. Впереди был изображен Исаак Ньютон, чуть ниже жирными буквами выведено его имя. На другой же стороне помещалось легендарное уравнение: f = ma.

Вы наверняка догадаетесь, что я был очень рад получить футболку и что надеваю ее при любом удобном случае.

Но, надо сказать, у меня гораздо меньше возможностей носить футболку, нежели у подростков. Мой возраст и социальное положение не позволяют носить футболку, не вызвав у окружающих удивление.

Но когда я все же надеваю ее, например по случаю вечеринки, все внимание присутствующих оказывается прикованным ко мне. К счастью, меня это не смущает, поскольку меня больше занимает то, что происходит в моей голове, а не то, что вокруг. К тому же мне немало уверенности придает восхищенный шепот подростков за моей спиной. Должен сказать, это худшая из футболок, что у меня есть. Полгода назад одна из самых красивых девушек «Даблдэй энд компани» подарила мне майку, на которой было написано жирными белыми буквами: АЙЗЕК АЗИМОВ — ГЕНИЙ. Мне стыдно об этом говорить, но у меня не хватило ума, чтобы не появляться в ней на публике. Я всегда полагал, что моя нескромность имеет пределы, но оказалось, что это не так.

Похоже на то, что внимание публики привлекает не портрет Исаака Ньютона (которого, возможно, незнающие считают из-за длинных волос звездой рок-н-ролла), а магическая надпись на спине. Думаю, все пытаются понять смысл этих знаков.

Так почему бы не объяснить эти знаки здесь?

Мысленно бросим мяч. Мяч неподвижен, когда вы только начали движение, но когда мяч покидает вашу руку, он летит на значительной скорости. Во время броска мяч набирает скорость от нуля до того значения, которое вы ему придаете движением своих пальцев. Такое увеличение скорости называется ускорение.

Ускоряя движение, мы должны приложить силу. Без нее движение мяча не ускорилось бы. Без применения силы мяч не может ни ускоряться, ни останавливаться. Чтобы его бросить, нужно приложить силу. Мы можем сделать движения, необходимые при броске, — но если мяч лежит от нас на расстоянии 10 футов, с ним ничего не произойдет. Более того, когда мы бросаем мяч, его движение ускоряется только в том направлении, в котором мы бросаем.

Прикладывая силу, причем к конкретному объекту воздействия, мы можем наблюдать следующее: любой объект можно заставить ускоряться в том — и только в том! — случае, если на него оказывается какое-либо воздействие, причем ускорение всегда будет в направлении действия силы.

Подобные утверждения иногда называют «законами природы», но мне это название кажется слишком претенциозным. Думаю, это можно назвать просто обобщением. Это довольно простое наблюдение, что сила и ускорение направлены в одну сторону.

Но вернемся к мячу. Если мы бросим его с большим усилием, это заставит мяч двигаться быстрее. Изменение скорости во время броска больше. То есть чем больше сила, тем больше ускорение. И снова это довольно простое наблюдение, с которым знакомо все человечество.

Действительно, когда физики начали измерять силу и ускорение с большой степенью точности, они обнаружили, что, если к данному телу приложить вдвое большую силу, тогда и ускорение увеличивается ровно вдвое. (Это не совсем так. Теория относительности Эйнштейна внесла поправки, которые, однако, при обычных обстоятельствах оказывают незначительное влияние, — но эта глава посвящена ньютоновской аппроксимации, и потому здесь я не буду рассматривать поправки Эйнштейна. — Примеч. авт.) Если увеличить силу в n раз, тогда точно в n раз увеличится и ускорение.

Коротко это можно сформулировать так: ускорение прямо пропорционально силе.

Еще короче это соотношение можно записать при помощи математических символов. Пусть ускорение будет обозначено буквой a, а сила — буквой f. Чтобы представить прямую пропорциональность, мы используем знак. Таким образом, мы можем записать:

Но продолжим наши эксперименты. Что произойдет, если мы будем бросать различные предметы? Предположим, что мы с некоторым усилием бросаем теннисный мяч. Насколько это возможно, используйте такое же усилие для того, чтобы последовательно бросать бейсбольный мяч, резиновый детский мячик и шар (один их тех, которым любят отягощать себя метатели шара).

Вы легко увидите, что невозможно при той же самой силе заставить бейсбольный мяч двигаться так же быстро, как теннисный. Резиновый мяч будет лететь медленнее, а металлический шар будет вообще трудно сдвинуть с места.

Человечество уже давно заметило, что фиксированная сила ускоряет тяжелый объект в меньшей степени, чем легкий. В самом деле, если вы произведете измерения, то сразу найдете, что x вдвое тяжелее у, если x в три раза тяжелее, чем y, то x ускорится в три раза меньше, чем y, и так далее.

Вы возразите: если бросить перо, то оно, по этой логике, должно полететь куда быстрее, чем бейсбольный мяч, но этого не происходит. Перо быстрее не летит.

Дело в том, что наша рука — не единственное, что действует на перо. На него в противоположном направлении действует сопротивление воздуха. По некоторым причинам, в которые мы не будем вдаваться, эта противодействующая сила в большей степени влияет на относительно легкие предметы, такие, как перо, чем на относительно тяжелые, такие, как бейсбольный мяч. Приходится искать равнодействующую силу — то есть силу, которая получается в результате взаимодействия разных сил.

Еще одно замечание — если мы попытаемся двинуть очень тяжелый предмет по полу, у нас получится очень малое ускорение, возможно, что его вообще не будет. Предмет может вообще не сдвинуться, сколько бы усилий вы ни приложили. На сей раз вам мешает сила трения, которая действует в направлении, противоположном силе, приложенной нами, — и эта сила при прочих равных условиях больше у тяжелых тел.

Короче говоря, реальные явления имеют довольно сложный характер, и вот почему понадобилось два тысячелетия, чтобы после долгих размышлений мудрецов были найдены некоторые общие закономерности. Потребовался исключительный гений, который смог бы отбросить затемняющие картину посторонние явления.

Если мы также отбросим все постороннее, то сможем утверждать, что чем тяжелее объект, тем меньшее ускорение вызовет приложенная к нему фиксированная сила.

Но не будем говорить «тяжелее», поскольку это может вызвать сложности. Давайте использовать термин «масса». При обычных обстоятельствах понятие «более массивное» примерно соответствует тому, что мы считаем «более тяжелым»; «менее массивное» же означает «более легкое».

Чем больше масса тела, тем труднее его ускорить — другими словами, изменить его скорость. Сопротивление изменениям скорости тела называется инерцией. Фактически инерция и масса — различные названия одного и того же свойства. (Покойный ныне И. И. Смит рассматривал свободное от инерции тело, движущееся в космосе со скоростью, близкой к скорости света. Обыкновенная масса без инерции не может двигаться быстрее скорости света, считал он, но масса без инерции может двигаться с любой скоростью, как бы велика она ни была. Это очень интересное утверждение, но если мы глянем правде в глаза, то придется признать, что масса без инерции — это то же, что масса без массы, то есть возникает противоречие в терминах; по крайней мере, мне так кажется. — Примеч. авт.)

Если для данной силы ускорение становится меньше при увеличении массы, мы можем сказать, что ускорение обратно пропорционально массе.

Для того чтобы увидеть, как это может быть, обратимся к математическим соотношениям. Пусть m представляет массу. Введем понятие ¹/_m. Чем больше m (к примеру, 2, 3, 4, 5 и так далее), тем меньше отношение ¹/_m (соответственно ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄, ¹/₅ и так далее). Фактически ¹/_m становится тем меньше, чем больше m, — абсолютно так же ускорение становится меньше при увеличении массы.

Если каждая из двух переменных пропорциональна третьей переменной, то эти две переменных прямо пропорциональны друг другу. Другими словами, если ускорение и ¹/_m обратно пропорциональны m, то ускорение прямо пропорционально ¹/_m. Тогда мы можем сказать:

Если ускорение прямо пропорционально каждой из двух различных величин, то оно прямо пропорционально произведению этих величин. Другими словами, если а прямо пропорционально f и ¹/_m (см. уравнения 1 и 2), то оно прямо пропорционально произведению f и ¹/_m. Таким образом, мы можем сказать, что:

Когда эти две величины прямо пропорциональны, а это означает, что в случае, если одна из них становится больше (или меньше), другая также становится больше (или меньше) в соответствующее число раз. Например, один параметр увеличивается в 2 раза, в 5 раз или в 1,752 раза — результат увеличится строго во столько же раз: в 2 раза, в 5 раз или в 1,752 раза.

Но мы лишь определили пропорциональность, использовать же ее для расчетов нельзя, требуется уравнение. Для того чтобы составить уравнение, нужно определить коэффициент пропорциональности.

Если мы не знаем его точную величину, то можем пока использовать константу пропорциональности и обозначить ее буквой. Обычно — пусть и не всегда — константу обозначают буквой k. Почему именно k? Потому что эта идея была перенята у немцев, которые использовали слово «konstant».

Если затем мы умножим правую часть уравнения 3 на такую константу пропорциональности, мы наконец сможем написать желаемое уравнение:

Присутствие неопределенной константы пропорциональности — это вызов ученым, и они прикладывают все силы, чтобы ее определить. В данном случае мы вправе сами установить единицы ускорения, силы и массы и потому можем выбрать их так, чтобы значение константы равнялось единице. Конечно, единицу при умножении можно не ставить. При условии, что мы правильно выбрали единицы измерения, можем написать уравнение 4 следующим образом:

Простое алгебраическое преобразование дает нам следующую форму уравнения:

И именно это (наконец!) является тем, что написано на спинке моей майки.

Связь с Ньютоном объяснить нетрудно. То, что столь просто было изложено сейчас, оказалось простым только потому, что Исаак Ньютон впервые объяснил это в своей книге «Principia Mathematica» («Основы математики»), опубликованной в 1687 году. То, что я вам представил, — уравнение 6, — это самое простое выражение второго закона механики Ньютона.

Почему именно второго закона? Потому что был и первый закон.

Формулировка первого закона Ньютона выглядит следующим образом: «Всякое тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действующие на него силы не изменят это состояние».

Постоянная скорость предусматривает нулевое ускорение. Таким образом, первый закон механики Ньютона в математических символах выглядит следующим образом: «Если f = 0, то а = 0».

Но если мы посмотрим на уравнение 6, то сможем увидеть (предположив, что тело имеет некоторую массу), что при f = 0 а должно быть равно 0:

Отсюда видно, что первый закон механики Ньютона — всего лишь особый случай второго закона Ньютона, а уравнение 6 описывает как первый, так и второй закон движения. Зачем тогда потребовалось формулировать первый закон? Разве Ньютон не видел, что с математической точки зрения это одно и то же? Конечно видел. Причина в том, что, определяя новую картину мира, он должен был сначала отбросить существовавшую прежде систему, и потому психологически важно было показать это первым.

Есть и третий закон механики, также выдвинутый Ньютоном. Этот закон утверждает, что если тело А воздействует с какой-то силой на тело В, то тело В воздействует с точно такой же силой на тело А.

Этот закон обычно называют законом действия и противодействия, хотя это название и не является удачным. Оно создает совершенно неверное впечатление, которое запутало бессчетное число людей.

Слова «действие и противодействие» заставляют думать, что А действует на В и после этого В действует на А. Это выглядит так, словно А берет на себя инициативу, а В только наносит ответный удар вроде самозащиты, после того как его атаковали, — изменение и противодействие изменению, выпад и ответный выпад, первый ход в шахматах и второй ход.

Это может привести к совершенно бесплодным рассуждениям. К примеру, после того, как А действует на В, через какое-то время В действует на А, и, если придумать что-то, чтобы после действия А и перед обратной реакцией В произошла какая-то работа, можно нарушить закон сохранения момента движения или сделать что-то вроде этого.

Проблема состоит в том, что действие и противодействие не существуют независимо. Третий закон следует назвать законом взаимодействия для обоих тел, которые действуют одновременно.

Вместо того чтобы долго доказывать это, я хотел бы пояснить на примере. Предположим, я говорю вам, что закон контакта Азимова гласит: «Если А касается В, то В касается А».

Вы думаете, что А сначала касается В, а лишь позднее В касается А? Вы считаете, что есть маленький, но конечный интервал между тем, как А касается В, и тем, как В касается А? Вы думаете, что вы можете рассматривать касание только лишь А или В? Или же вы должны рассматривать единство двух прикосновений, которые отделить друг от друга невозможно?

Конечно, я уверен, вы пришли к правильному выводу.

Теперь, когда мы знакомы с законами движения, давайте обратимся к силе притяжения, которую Ньютон также рассмотрел в «Principia Mathematica» («Основы математики») и о которой мы говорили в главе 5.

Если мы выпустим мяч из рук, он будет падать вниз с постепенно увеличивающейся скоростью. Другими словами, он будет с ускорением двигаться вниз. Из второго закона механики следует, что ускорение не может существовать без действующей на тело силы. Таким образом, чтобы не нарушать второй закон, необходимо постулировать гравитационную силу в направлении центра Земли, которая действует на любую массу. Чтобы обозначить эту особую силу тяготения, используем букву F.

Если бы сила гравитации была постоянной величиной независимо от природы падающего тела, тогда более массивное тело ускорялось бы меньше (то есть падало бы медленнее), чем массивное. Это наиболее просто выражено в уравнении 2.

Но это не так. Итальянский ученый Галилей примерно за столетие до опубликования «Principia Mathematica» провел эксперименты, убедительно доказывающие, что все тела, какую бы массу они ни имели, ускоряются одинаково во время падения (если мы не берем в расчет сопротивление воздуха).

Ну а если тело А вдвое массивнее тела В, тогда потребуется вдвое большая сила, чтобы заставить его ускоряться до той же величины. Соответственно, если тело А в пять раз массивнее тела В, то для него нужна в пять раз большая сила, чем для тела В, и так далее.

Таким образом, если опыт Галилея правилен, тогда все тела вне зависимости от их массы будут ускоряться при падении одинаково, а гравитационная сила, производимая Землей, — прямо пропорциональна массе падающего тела. Или в виде формулы:

Но по третьему закону механики Ньютона, если Земля прикладывает силу, действующую на падающее тело в направлении вниз, то падающее тело прикладывает такую же силу по отношению к Земле.

Это означает, что когда падающее тело получает ускорение вниз, то Земля получает ускорение вверх. Однако Земля является более массивной, чем падающее тело, и ускоряется в значительно меньшей степени. (Я слышу ваши возражения: «Но вы только что сказали, что все тела любой массы ускоряются одинаково». Да, но в ответ на гравитационное воздействие Земли. Все тела любой массы также ускоряются одинаково по отношению к падающему телу — но только по отношению к нему. Одно «одинаково» не совпадает с другим «одинаково».)

Земля настолько массивней падающих тел, которые мы обычно используем, что ускорение Земли по отношению к ним заметить совершенно невозможно. Это несколько запутывает дело, и хорошо, что Ньютон просто отбросил это усложнение: это позволило ему понять, что притяжение — не только свойство Земли, но и свойство всех объектов во Вселенной.

По третьему закону, если Земля притягивает к себе падающие тела, падающие тела должны совершенно так же притягивать Землю. Если сила притяжения зависит от массы падающего тела, это должно также зависеть от массы Земли, поскольку мы не можем дать одной стороне преимущественного положения перед другой. Если мы обозначим массу Земли буквой M, то получается следующее:

Гравитационная сила также зависит от расстояния между телами. Разумно предположить, что чем дальше два тела друг от друга, тем слабее их притяжение друг к другу. Можно доказать, что гравитационная сила пропорциональна расстоянию между падающим телом и Землей. Из принципа симметрии, однако, должно следовать, что гравитационная сила точно так же должна быть пропорциональна между Землей и падающим телом. Ясно, что оба эти расстояния совершенно равны, и если одно из них обозначить через d, то так же можно обозначить и второе расстояние. В этом случае гравитационная сила везде пропорциональна d ? d, или d², и обратно пропорциональна 1/d². Таким образом:

И если мы объединим уравнения 9 и 10, то получим:

Чтобы превратить эту формулу в равенство, мы должны умножить правую сторону уравнения на коэффициент пропорциональности. В этом случае давайте назовем его гравитационной постоянной и обозначим буквой G. Уравнение 11 тогда приобретет следующий вид:

Это уравнение представляет собой ньютоновский закон гравитации в самом простом виде.

Теперь давайте посмотрим, сможем ли мы упростить это равенство. Рассмотрим гравитационную силу в терминах ускорения. Ускорение Земли столь мало, что мы можем не принимать его во внимание, а иметь дело лишь с ускорением падающего тела. В уравнении 6 мы можем заменить F выражением ma и затем сократить m с обеих сторон уравнения. Это даст нам следующее:

Можем мы также избавиться и от G?

К сожалению, это тоже нам никак не помогает. Мы можем измерить ускорение падающего тела (а) и расстояние между падающим телом и центром Земли (d), но у нас нет совершенно никакой информации о массе Земли (M). Или, по крайней мере, ее не было у Ньютона.

Однако, чему бы G ни равнялось, его значение остается тем же для всех возможных значений a, d и M при условии, что вы выражаете а, d и M при помощи одного и того же набора единиц. В этом случае давайте очень тщательно выберем набор единиц, который бы позволил нам избавиться от G.

Давайте использовать массу Земли как единицу массы, радиус Земли как единицу расстояния, а единицу гравитационного ускорения как единицу ускорения. Земля будет составлять ровно 1 массы Земли, расстояние падающего тела от центра будет равно точно 1 радиуса Земли, а ускорение падающего тела будет равно точно 1 единице гравитационного ускорения. В этом случае:

Пока мы будем придерживаться этих единиц, мы можем убрать G и написать уравнение 13 следующим образом:

Если мы будем применять это уравнение только по отношению к Земле, то оно станет совершенно бесполезным. Единственное, что из него следует, — тело с размерами и массой Земли падает так, как мы видим его падающим. Не более того!

Но что будет, если мы переместимся к поверхности Луны? Масса Луны в 0,0124 раза меньше массы Земли, то есть составляет 0,0124 земной массы. Расстояние от падающего на Луну объекта от центра Луны равно радиусу Луны, который составляет 0,27 земного радиуса. Таким образом, мы находим из уравнения 16 (при том, что теперь M представляет массу Луны и d — расстояние до центра Луны):

Мы видим, что падающее тело на поверхности Луны движется вниз с ускорением в 0,17 (грубо говоря, ¹/₆) единицы ускорения. Для простоты примем, что на Луне тело ускоряется в 1,6 раза быстрее, чем на Земле, а это значит, что притяжение на Луне только в 1,6 раза меньше, чем на Земле.

Мы узнали это, не имея гравитационной постоянной. Но мы избавились от нее только потому, что использовали своеобразные единицы. Можно преобразовать единицы гравитационного ускорения в обычные, используя сантиметры и секунды. Для этого потребуется провести ряд измерений. Можно также преобразовать единицу радиуса Земли в обыкновенные единицы, используя сантиметры, прямыми измерениями. Но что нужно сделать с единицей массы Земли?

Эта проблема долгое время оставалась нерешенной, но тем не менее выход был найден. И если вы не возражаете, я завершу свою главу точно так же, как завершил предыдущую.

Местом, где это произошло, была Англия; временем, когда это произошло, был 1798 год; человеком, который это сделал, был Генри Кавендиш, а метод заключался в том, что… но немного потерпите.