Книга: Вселенная

Приложение. Уравнение, которое касается каждого из нас

Приложение. Уравнение, которое касается каждого из нас

Весь мир, который мы воспринимаем на уровне повседневного опыта, основан на Базовой теории: это квантовая теория поля, описывающая динамику и взаимодействия определённого множества материальных частиц (фермионов) и силовых частиц (бозонов). Базовая теория включает в себя как стандартную модель физики частиц, так и эйнштейновскую общую теорию относительности (в приближении слабого гравитационного поля). Хотя при чтении этой книги данный материал не требуется, в приложении мы очень кратко рассмотрим некоторую специфику упомянутых полей и взаимодействий в рамках Базовой теории. Обсуждение будет сжатым (почти телеграфный стиль), в нём вы встретите множество мудрёных словечек, терминов и странных идей. Считайте приложение дополнительным материалом, который можно либо пропустить, либо прочитать на закуску, раз уж вы добрались до самого конца.

Краеугольным камнем нашей дискуссии будет единственная формула — фейнмановский интеграл по траекториям, описывающий Базовую теорию. В этой формуле содержится всё, что нам известно о квантовой динамике этой модели: какова вероятность того, что при наличии определённой конфигурации полей эти поля впоследствии примут какую-то другую конфигурацию? Если узнать это, то можно рассчитать любые интересующие нас явления, относящиеся к Базовой теории. Такое уравнение заслуживает места на футболке.

* * *

Существует два вида квантовых полей: фермионные и бозонные. Фермионы — это материальные частицы; они занимают место в пространстве, поэтому пол под ногами или стул, на котором вы сидите, твёрдые. Бозоны — это силовые частицы, несущие энергию; они могут нагромождаться друг на друга, порождая макроскопические силовые поля, например гравитационное и электромагнитное. Полный список частиц, согласно Базовой теории, выглядит следующим образом.

Фермионы

1) электрон, мюон, тау (электрический заряд ?1);

2) электронное нейтрино, мюонное нейтрино, тау-нейтрино (нейтральные);

3) u-кварк, очарованный кварк, топ-кварк (заряд +2/3);

4) d-кварк, странный кварк, прелестный кварк (заряд ?1/3).

Бозоны

1) гравитон (гравитация; искривление пространства–времени);

2) фотон (электромагнетизм);

3) восемь глюонов (сильное ядерное взаимодействие);

4) W- и Z-бозоны (слабое ядерное взаимодействие);

5) бозон Хиггса.

В квантовой теории поля требуется не слишком много информации, чтобы описать свойства определённого поля или — что равноценно — частицы, с которой оно связано. У каждой частицы имеются масса и спин. Можно уподобить элементарные частицы маленьким волчкам с той оговоркой, что эти частицы (представляющие собой миниатюрные вибрации квантового поля) на самом деле вообще не имеют размера. Спин — неотъемлемое свойство частицы, а не поворот её «корпуса» вокруг оси. Все частицы, связанные с конкретным полем, обладают одним и тем же спином; так, например, спин всех электронов равен ?1/2, а спин всех гравитонов равен ?2.

Взаимодействие частиц друг с другом зависит от их заряда. Слово «заряд» без уточнений — это краткое обозначение электрического заряда, но другие взаимодействия — гравитация и ядерные силы — также характеризуются зарядами. Заряд частицы позволяет понять, как она взаимодействует с полем, которое связано с соответствующей силой. Так, электроны, имеющие электрический заряд ?1, напрямую взаимодействуют с фотонами, которые переносят электромагнитное взаимодействие; нейтрино, чей заряд равен нулю, вообще не вступают в непосредственные взаимодействия с фотонами (но могут взаимодействовать косвенно, поскольку нейтрино вступают в контакт с электронами, а те — с фотонами). Фотоны сами по себе нейтральны, поэтому они не взаимодействуют друг с другом.

Гравитационный «заряд» — это просто энергия частицы, равная произведению массы на скорость света в квадрате, когда частица находится в покое. У каждой отдельной частицы есть гравитационный заряд; Эйнштейн учил, что гравитация универсальна. Все известные нам фермионы проявляют слабое ядерное взаимодействие, то есть они взаимодействуют с W- и Z-бозонами. Половина известных нам фермионов взаимодействует с глюонами, проявляющими сильное ядерное взаимодействие; эти фермионы называются кварками; остальные фермионы такого взаимодействия не проявляют, и мы называем их лептонами. Существуют u-кварки с (электрическим) зарядом +2/3 и d-кварки с зарядом ?1/3. Сильное взаимодействие — настолько сильное, что кварки и глюоны оказываются упакованы внутри элементарных частиц (например, протонов и нейтронов), поэтому мы никогда не наблюдаем их непосредственно. Заряженные лептоны — это электрон и аналогичные ему более тяжёлые частицы мюон и тау. С каждой из этих частиц связано нейтрино отдельного вида, названные электронное нейтрино, мюонное нейтрино и тау-нейтрино.

Ещё существуют поле Хиггса и связанная с ним частица — бозон Хиггса. Гипотеза о существовании бозона Хиггса была выдвинута в 1960-е годы, а открыть эту частицу удалось на Большом адронном коллайдере в Женеве в 2012 году. Хотя это и бозон, обычно мы не говорим о «силе», связанной с полем Хиггса, — могли бы, но бозон Хиггса столь массивен, что связанная с ним сила исключительно слабая и короткодействующая. Бозон Хиггса замечателен тем, что его поле обладает ненулевым значением даже в вакууме. Все частицы, из которых вы состоите, постоянно купаются в поле Хиггса, и это отражается на их свойствах. Важнее всего, что данное поле наделяет массой кварки и заряженные лептоны, а также W- и Z-бозоны. Открытие бозона Хиггса было последним штрихом в разработке Базовой теории.

* * *

Представляю, о чём вы думаете: «Да, все эти поля красочные и очаровательные. Но мы хотим наконец увидеть уравнение».

Извольте.

Суть Базовой теории — законов физики, на которых основана повседневная жизнь, — выражена в одном уравнении. Это уравнение описывает квантовую амплитуду для перехода от одной заданной конфигурации поля к другой, выраженную в виде суммы всех траекторий, которые потенциально могут соединять эти конфигурации

Для того чтобы не противоречить вышеизложенным фактам об устройстве квантовой механики, мне на самом деле следовало бы предложить вам уравнение Шрёдингера, описывающее базовую теорию. Оно показывает, как волновая функция заданной квантовой системы развивается во времени. Однако изложить эту информацию можно разными способами, а тот, что я показал выше, — особенно компактный и красивый (хотя неподготовленному читателю так может не показаться).

Это так называемая формулировка квантовой механики через интегралы по траекториям, впервые предложенная Ричардом Фейнманом. Волновая функция описывает суперпозицию всех возможных конфигураций системы, с которой вы работаете. В случае с Базовой теорией конфигурация означает конкретное значение каждого поля в каждой точке пространства. Фейнмановская версия квантовой эволюции (эквивалентная шрёдингеровской, отличается только способ записи) сообщает, с какой вероятностью данная система окажется в конкретной конфигурации в рамках волновой функции, если известно, что в более ранний момент она имела иную конфигурацию в рамках другой волновой функции. Либо можно начать с более поздней волновой функции и отмотать ситуацию назад; фейнмановское уравнение, равно как и шрёдингеровское, является полностью обратимым в лапласовском смысле. В квантовой механике обратимость нарушается, лишь когда мы начинаем наблюдать явления.

Что же представляет собой величина W? Это так называемая амплитуда, необходимая для перехода поля из одной конфигурации в другую. Она описывается фейнмановским интегралом по траекториям для всех путей, по которым поля могли бы постепенно развиваться. Если вы когда-либо изучали математический анализ, то, возможно, помните, что интеграл — это способ суммирования бесконечного числа бесконечно малых элементов, например суммирование бесконечно малых областей для определения площади под кривой. В данном случае мы суммируем вклад всех возможных этапов, через которые может проходить поле между начальным и конечным состояниями. Здесь принято говорить о «траектории», по которой может развиваться конфигурация поля.

* * *

Итак, что же именно мы интегрируем (суммируем)? Для каждой потенциальной траектории, по которой может развиваться система, существует вычисляемое нами значение, так называемое действие, традиционно обозначаемое буквой S. Если система то и дело колеблется, то её действие будет очень велико; если она развивается более плавно, то действие будет относительно небольшим. Концепция действия наряду с концепцией траектории играет важную роль даже в классической механике; среди всех возможных траекторий, по которым, на наш взгляд, может пойти развитие системы, есть та, которую она действительно принимает (та, что подчиняется классическим законам движения). Говорят, что эта траектория обладает наименьшим действием. Любую классическую теорию можно определить, сказав, каково действие системы, а затем уточнив, какие движения минимизируют это действие.

В квантовой механике вновь фигурирует действие, но уже немного в другом варианте. Фейнман предложил подход, согласно которому можно считать, что квантовая система принимает каждую траекторию, а не только ту, что допускается классической физикой. Каждую траекторию мы ассоциируем с определённым фазовым множителем, exp{iS}. Данное выражение означает, что следует взять постоянную, называемую числом Эйлера (e = 2,7181...), и возвести её в степень i (мнимое число, получаемое путём умножения квадратного корня из ?1 на действие S для данной траектории).

Фазовый множитель exp{iS} — это комплексное число, у которого есть действительная и мнимая части. Каждая из этих частей в каких-то случаях может быть положительной, а в других — отрицательной. При суммировании для всех траекторий ряда положительных и ряда отрицательных значений результат почти полностью обнуляется и в итоге получается небольшое значение. Исключение представляют случаи, когда ряд близких траекторий обладает очень схожими значениями действия; тогда результат возрастает, а не уменьшается. Это происходит как раз в тех случаях, когда значение действия близко к минимуму, что соответствует именно той траектории, которую допускает классическая физика. Итак, максимальная квантовая вероятность связана с почти классическим вариантом эволюции. Вот почему классическая механика так хорошо моделирует окружающий мир; именно классическое развитие событий приводит к максимально вероятным квантовым переходам.

* * *

Можно разобрать наше уравнение, рассмотрев его по частям.

Рассмотрим ту часть уравнения, которая обозначена как «квантовая механика». Именно здесь амплитуда записывается в виде интеграла (символ ?), описывающего совокупность полей, а за интегралом следует выражение «ехр i...». Учитываемые нами поля указаны в части [Dg] [DA] [D?] [D?]. Буква D попросту означает: «Это бесконечно малые величины, которые мы собираемся суммировать в нашем интеграле», а остальные символы обозначают сами поля. Гравитационное поле — это g, другие бозонные силовые поля (электромагнитное поле, поля сильного и слабого ядерного взаимодействия) сгруппированы под символом A, все фермионы вместе обозначены ? (это греческая буква «пси»), а бозон Хиггса — ? (это греческая буква «фи»). Обозначение «ехр» означает «e в степени ...», i — это квадратный корень из ?1, а всё, что следует за i, — это действие S для Базовой теории. Итак, квантовая механика входит в наше уравнение в следующей формулировке: «Интегрируем по всем траекториям, которые могут принимать все поля, то, что получается в результате возведения e в степень i с последующим умножением на действие».

Именно в действии заключено самое интересное. Многие профессиональные учёные, специализирующиеся на физике частиц, тратят значительную часть жизни, выписывая различные возможные действия для разных совокупностей полей. Но все начинают с этого действия, соответствующего Базовой теории.

Действие — это интеграл, охватывающий всё пространство и весь период времени между исходной и конечной конфигурациями. Именно это и выражается в виде ?d4x: x означает координаты, отложенные по всем измерениям пространства–времени, а число 4 напоминает, что пространство–время четырёхмерно. Ещё есть дополнительный множитель, скрывающийся под общим обозначением «пространство–время», — это квадратный корень из величины ?g. Как подсказывает буквенное обозначение величины, этот множитель каким-то образом связан с гравитацией; в частности, эта связь выражается в кривизне пространства–времени. Этот член выражения позволяет учесть тот факт, что объём пространства–времени (который мы интегрируем) зависит от того, как именно искривлено пространство–время.

Каждый член в квадратных скобках — это отдельный вклад в общее действие, обусловленный свойствами тех или иных полей; речь идёт как о свойствах самих полей, так и о свойствах их взаимодействий. Все члены относятся к какой-то из категорий: «гравитация», «прочие взаимодействия», «материя» и «Хиггс».

Термин «гравитация» довольно прост; он отражает первозданную красоту эйнштейновской общей теории относительности. Величина R называется «скаляр кривизны»; она характеризует, насколько выражен тот или иной вариант кривизны пространства–времени в конкретной точке. Скаляр кривизны умножается на константу m_p²/2<верхний индекс должен быть над p>, где m_p — планковская масса. Это просто необычный способ выражения ньютоновской гравитационной постоянной G, характеризующей силу тяготения: m_p²/2<верхний индекс должен быть над p> = 1/(8?G). Я использую «натуральные единицы»: в этой системе и скорость света, и квантовомеханическая постоянная Планка равны единице. Скаляр кривизны R можно рассчитать на основе гравитационного поля, а действие для общей теории относительности попросту пропорционально интегралу R для области пространства–времени. Минимизировав этот интеграл, получаем эйнштейновское уравнение поля для гравитации.

Далее у нас идёт член под названием «другие взаимодействия», в котором дважды встречается величина F, а также верхние и нижние индексы. F — это тензор напряжённости поля, и здесь он включает вклад электромагнетизма, сильного и слабого взаимодействия. В сущности, тензор напряжённости поля сообщает, насколько сильно поле искривляется и вибрирует в пространстве–времени, точно так же, как скаляр кривизны позволяет узнать, насколько искривляется и вибрирует само пространство–время (его геометрия). В случае электромагнетизма тензор напряжённости поля учитывает как электрическое, так и магнитное поле.

Здесь и во всём уравнении верхние и нижние индексы означают различные субвеличины, например конкретное поле, о котором мы говорим (фотонное, глюонное, W- или Z-бозонное), а также часть поля, например «часть электрического поля, ориентированная по оси x». Когда мы видим две величины (например, две величины F в этом члене) с одинаковыми индексами, это означает: «Суммировать все возможности». Такая запись очень компактна, она позволяет скрыть огромную сложность всего за несколькими символами; вот почему всего один член объемлет вклад всех разнообразных силовых полей.

* * *

Всё несколько усложняется, когда мы переходим к части уравнения под названием «материя». Материальные поля соответствуют фермионам и все вместе обозначаются буквой ?. Как и в случае с бозонами, этот единственный символ означает сразу все фермионы. В первом члене буква ? встречается дважды: один раз с греческой буквой ? (гамма), а другой раз — с буквой D. Буква ? соответствует матрицам Дирака, предложенным британским физиком Полем Дираком. Матрицы Дирака играют ключевую роль при описании свойств фермионов — в частности, отражают тот факт, что у каждой частицы-фермиона обычно есть античастица. D в данном случае означает производную поля, то есть скорость его изменения. Итак, данный член решает для фермионов ту же задачу, которую предыдущие члены решали для силовых бозонов: сообщает, насколько поле изменяется в пространстве и во времени. Однако в этой производной есть нечто скрытое (вновь волшебство компактной записи): речь идёт о связи, или взаимодействии между фермионами и силовыми бозонами, которое зависит от заряда фермионов. Так, данный член на практике характеризует взаимодействие электрона с протоном.

Следующий член уравнения описывает связь другого типа, возникающую между фермионами и полем Хиггса ?. В отличие от остального действия Базовой теории взаимодействие между фермионами и полем Хиггса кажется несколько причудливым и непривлекательным. Но вот оно: две буквы ? и одна буква ? сообщают нам, что этот член описывает взаимодействие между фермионами и полем Хиггса. Здесь есть две сложные детали. Во-первых, это символ V_ij — так называемая матрица смешивания. Эта матрица позволяет отслеживать, как фермионы могут «смешиваться» друг с другом: так, топ-кварк при распаде на самом деле превращается в особую смесь d-кварка, странного кварка и b-кварка.

Второе осложнение таково: как видите, у одного из фермионных полей есть нижний индекс L, а у другого — R. Они обозначают поля «левой руки» и «правой руки». Допустим, вы отставили большой палец левой руки вдоль того направления, в котором закручивается вращающаяся частица. Остальные ваши пальцы указывают возможное направление спина; если именно в этом направлении частица и вращается, то она относится к частицам «левой руки», в противном случае — к частицам «правой руки». Данные нижние индексы, появляющиеся в этом члене Базовой теории, указывают, что теория описывает «левую» и «правую» ориентацию по-разному, по крайней мере на субатомном уровне. Эта черта является не только примечательной, но и необходимой, поскольку природа по-разному обращается с лево-ориентированными и право-ориентированными частицами. Когда специалисты по физике частиц впервые обнаружили этот феномен, именуемый несохранение чётности, они были поражены, но сегодня этот феномен считается просто одним из ряда явлений, которые возникают при взаимодействии полей.

Последний элемент этого члена «h. c.» означает эрмитово сопряжение. Таким необычным способом мы говорим о следующем: первый член представляет собой комплексное число, но действие должно быть представлено действительным числом, поэтому нам понадобится вычесть из комплексного числа его мнимую часть и получить совершенно реальную величину.

Наконец мы подходим к той части действия, которая касается поля Хиггса ?. Здесь всё довольно просто: первый член является «кинетическим» и показывает, насколько изменяется поле. Второй член является «потенциальным» и демонстрирует, сколько энергии заключено в поле, даже если оно не изменяется. Именно во втором члене заключена вся специфика поля Хиггса. Подобно любому полю, оно стремится покоиться на минимально возможном энергетическом уровне; но в отличие от других известных полей поле Хиггса на таком минимуме не исчезает, а имеет ненулевое значение. Его потенциальная энергия выше при нулевом значении поля, чем при ненулевом. Именно поэтому поле Хиггса присутствует везде, даже в «пустоте», и воздействует на все проходящие через него частицы.

* * *

Вот и вся сущность Базовой теории. Всего одно уравнение сообщает нам, что квантовая амплитуда всей совокупности полей изменяется от некой исходной конфигурации (входящей в состав суперпозиции в рамках волновой функции) до другой, конечной конфигурации.

Известно, что Базовая теория, а значит, и всё уравнение — никак не последнее слово в физике. Во Вселенной существует тёмная материя, не вписывающаяся ни в одно из известных полей. Нейтрино обладают массой, что можно увязать с вышеприведённым уравнением, но пока не доказано экспериментально, что массы нейтрино обусловлены именно теми членами, которые мы в него включили. Более того, практически все физики считают, что нам ещё предстоит открыть новые поля и частицы, но эти частицы и поля должны либо очень слабо взаимодействовать с нами (подобно тёмной материи), либо очень быстро распадаться.

Базовая теория даже не является полной теорией известных нам полей. Эта проблема актуальна, например, для квантовой гравитации. Записанное нами уравнение работает, если гравитационное поле очень слабое, но отказывает при сильной гравитации, например такой, какая существовала вскоре после Большого взрыва или существует в чёрной дыре.

Это нормально. На самом деле ограничения этой теории неотъемлемы от её формулировки. В записи нашего уравнения осталась ещё одна часть, которую мы пока не упомянули: это первый символ интеграла, указывающий, что мы будем суммировать все конфигурации различных полей во времени; под этим символом стоит нижний индекс k < ?. Здесь k — волновое число конкретной моды поля, а ? — так называемое ультрафиолетовое обрезание. Вспомните точку зрения Кена Уилсона, которую мы обсуждали в главе 24: можно считать любое поле комбинацией мод, каждая из которых представляет собой вибрацию с конкретной длиной волны. Волновое число позволяет обозначить эти моды: чем больше k, тем меньше длина волны и, следовательно, тем выше энергия. Итак, данная нотация ограничивает конфигурации полей, которые мы включаем в интеграл по траекториям, — туда попадают лишь поля, которые «вибрируют не слишком активно». Таким образом, речь идёт о низкоэнергетических условиях и слабых взаимодействиях, но уравнение всё равно включает всю чехарду частиц и полей, присутствующих в окружающем нас повседневном мире.

Иными словами, Базовая теория — это эффективная теория поля. Она обладает очень специфической, хорошо определённой областью применения — энергии взаимодействия частиц гораздо ниже ультрафиолетового обрезания ?, — и мы не утверждаем, что Базовая теория точна за этими пределами. Она позволяет описать гравитационное воздействие Солнца на Землю, но не описывает, что происходило в момент Большого взрыва.

* * *

Можно было бы здесь ещё о многом поговорить, но такой материал относится к университетским курсам по физике. В кратком обзоре, который был здесь вам предложен, естественно, нельзя подробно объяснить все эти концепции человеку, который с ними практически не знаком.

Однако важно понять, что Базовая теория, лежащая в основе нашей повседневной жизни, исключительно точная, строгая и чёткая. В ней нет никакой двусмысленности и некуда вводить важные новые аспекты, которые якобы могли оставаться незамеченными до сегодняшнего дня.

Наука продолжает изучать Вселенную, мы постоянно узнаём что-то новое и, возможно, даже найдём более исчерпывающую теорию в основе Базовой, которая вообще не будет связана с квантовой теорией поля. Но ничто уже не изменит того, что Базовая теория в точности описывает природу в своей области применения. Тот факт, что мы успешно построили такую теорию, — один из величайших триумфов в интеллектуальной истории человечества.