Книга: Энергия, секс, самоубийство

Фрактальное древо жизни

Фрактальное древо жизни

Фракталы (от лат. fractus — сломанный) — это геометрические формы, которые выглядят одинаково при любом масштабировании. Если разбить фрактал на составляющие части, они будут более или менее одинаковы, потому что, как сформулировал основоположник фрактальной геометрии Бенуа Мандельброт, «эти фигуры состоят из частей, некоторым образом похожих на целое». Фракталы могут образовываться случайно под действием природных сил, таких как ветер, дождь, замерзание, эрозия и сила тяжести. Тогда получаются естественные фракталы — горы, реки, береговая линия, облака. Мандельброт называл фракталы «геометрией природы». В эпохальной статье, опубликованной в журнале Science в 1967 г., он использовал этот подход для решения вопроса, вынесенного в заглавие «Какова протяженность побережья Великобритании?». Фракталы можно генерировать математически; для этого часто используют повторяющуюся геометрическую формулу, задающую угол и плотность ветвления («фрактальная размерность»).

Природные и математические фракталы имеют общее свойство — масштабную инвариантность. Это значит, что они выглядят одинаково при любом увеличении. Например, очертания скалы часто похожи на очертания утеса или даже горы. Именно поэтому геологи, фотографируя объект, кладут рядом с ним молоток, чтобы потом по фотографии можно было сразу получить представление о масштабе объекта. Точно так же и растекающиеся водные потоки любой континентальной системы выглядят очень похоже: это может быть бассейн реки Амазонки, наблюдаемый из космоса, маленькие ручейки, видимые с вершины холма, или даже размытая водой грядка при взгляде из окна загородного дома. В случае математических «итеративных» фракталов, повторяющееся геометрическое правило позволяет получить бесконечное число подобных форм. Даже самые сложные и красивые фракталы, украшающие футболки и постеры, получаются за счет многократных повторений одних и тех же геометрических правил (зачастую весьма хитроумных) и нанесения получившихся точек на поверхность. Для большинства из нас футболка с фрактальным принтом — единственная возможность приобщиться к красоте глубокой математики.

Большинство природных фракталов на самом деле не настоящие фракталы, потому что их масштабная инвариантность не бесконечна. И все же узор ветвления каждой ветки примерно повторяет характер ветвления дерева как целого, а ветвление кровеносных сосудов в любой ткани или органе — их ветвление во всем организме. Видя только один узор, оценить масштаб зачастую непросто. Сердечно-сосудистая система слона напоминает аналогичную систему мыши, хотя она увеличена почти на шесть порядков (в миллион раз). Если сети выглядят похожими при столь существенных изменениях масштаба, то самым естественным языком для их описания является фрактальная геометрия. Пусть ветвящиеся системы природы и не настоящие фракталы, но они достаточно приближены к ним, чтобы их было можно моделировать с использованием соответствующих математических принципов.

Вест, Браун и Энквист задумались о том, не объясняет ли фрактальная геометрия природных «распределительных сетей» почти универсальную зависимость уровня метаболизма от размера тела. Это было бы логично, ведь уровень метаболизма соответствует потреблению пищи и кислорода, а они поступают в отдельные клетки животного не через поверхность тела, а как раз-таки через ветвящуюся «распределительную сеть», в данном случае кровеносные сосуды. Если уровень метаболизма ограничен доставкой этих питательных веществ, резонно предположить, что он должен по большому счету зависеть от свойств распределительной сети. В статье, опубликованной в журнале Science в 1997 г., Вест, Браун и Энквист сделали три основных допущения. Во-первых, сеть обслуживает весь организм (доставляет питательные вещества ко всем его клеткам) и поэтому должна заполнять весь объем организма. Во-вторых, капилляр — мельчайшее ответвление кровеносной системы — имеет инвариантный размер, то есть размер капилляров одинаков у всех животных независимо от размеров их тела. И в-третьих, они предположили, что питательные вещества должны распределяться по сети с минимальными затратами энергии и времени, и в процессе эволюции естественный отбор соответствующим образом оптимизирует распределительную сеть.

Ученым нужно было принять во внимание и некоторые другие факторы, связанные с эластичностью сосудов, но мы не будем углубляться в дебри. Итог таков: для поддержания самоподобной фрактальной сети (то есть такой, которая выглядит одинаково в любом масштабе) при пропорциональном увеличении размеров тела на несколько порядков общее число ветвей сети увеличивается медленнее, чем объем тела. Наблюдения показывают, что это действительно так. Например, кит в десять миллионов (10⁷) раз тяжелее мыши, а ответвлений от аорты к капиллярам у него только на 70 % больше. Согласно идеализированным расчетам фрактальной геометрии, в крупном животном распределительная сеть должна занимать относительно меньше места; каждый капилляр обслуживает большее число «конечных пользователей» (клеток). Это означает, что количество пищи и кислорода, распределяемое «на всех», уменьшается, а клеткам, получающим меньше пищи, придется понизить уровень метаболизма. Понизить насколько? Фрактальная модель предсказывает, что уровень метаболизма должен соответствовать массе тела в степени ?. Представьте себе это в виде наклона прямой на графике с логарифмическим масштабом на обеих осях: на каждые три шага по оси с логарифмом уровня метаболизма приходятся четыре шага на оси с логарифмом массы. Иными словами, фрактальная модель Веста, Брауна и Энквиста предсказывает, что уровень метаболизма должен изменяться пропорционально массе в степени ?. Таким образом, она объясняет метаболический закон ? (закон Клайбера). Если это объяснение верно, то все живые организмы подчиняются правилам фрактальной геометрии. Они определяют размер тела, плотность популяций, продолжительность жизни, темпы эволюции — вообще всё.

Но и это еще не предел. Фрактальная модель идет дальше, делая радикальное предсказание. Мы уже говорили, что закон Клайбера, как кажется, применим не только к большим организмам, у которых есть явная ветвящаяся распределительная сеть (млекопитающие, насекомые, деревья), но и к простым существам, у которых, на первый взгляд, такой сети нет (отдельные клетки). Вест, Браун и Энквист предположили, что простые организмы тоже имеют какую-то фрактальную распределительную сеть. Это действительно радикальное предположение, так как оно предполагает существование уровня биологической организации, который до сих пор не был нами обнаружен, и даже сторонники фрактальной теории осторожно говорят о некоей «виртуальной» сети. Тем не менее многие биологи не склонны с ходу отметать это предположение, так как в последнее время стало ясно, что цитоплазма — это нечто куда более сложное, чем аморфный гель, который описывается в учебниках. Характер ее организации пока что ускользает от понимания, но ясно, что потоки цитоплазмы «струятся» по клетке, а многие биохимические реакции гораздо жестче приурочены к определенным пространственным точкам, чем считалось ранее. Большинство клеток имеют сложную внутреннюю архитектуру, в том числе разветвленные сети волокон цитоскелета и сети митохондрий. Но действительно ли эти внутриклеточные сети являются фрактальными и подчиняются законам фрактальной геометрии? Они, бесспорно, ветвятся (рис. 13), но на древовидные сети циркуляторных систем это не слишком похоже. Фрактальная геометрия описывает самоподобные системы, а во внутриклеточных системах самоподобия не просматривается.

Рис. 13. Сеть митохондрий в клетке культуры ткани млекопитающего, окрашенная красителем MitoTracker. Митохондрии нередко перемещаются по клетке и могут образовывать сетчатые структуры, такие как на этом рисунке. Однако на фрактальное дерево эти сети не похожи

Чтобы решить эти с виду нерешаемые проблемы, Вест, Браун и Энквист модифицировали свою модель. Исключив из нее требование наличия явных ветвящихся сетей, они взяли за основу геометрию иерархических сетей (сетей, которые включены в другие сети, как матрешки). Другие физики (назову Джаянта Банавара из Университета Пенсильвании и его коллег) попробовали упростить сетевую модель, вообще исключив из нее фрактальную геометрию, однако их модель тоже предполагает наличие ветвящейся распределительной сети. С конца 1990-х гг. на страницах престижных научных журналов каждые несколько месяцев появляется новая порция мудреных математических выкладок, часто перемежаемых уничижающими отповедями, такими как, например, «это не может быть справедливо, так как нарушает однородность размерностей…». Подобные споры нередко приводят к расколу между биологами, которые слишком часто сталкиваются с исключениями из якобы универсальных законов («в природе все сложнее, чем на самом деле»), и физиками, такими как Вест, которые пытаются найти общую теорию всего. Вест не стесняется в выражениях: «Если бы Галилей был биологом, он исписал бы тысячи страниц, тщательно документируя, что предметы разной формы падают с Пизанской башни с немного разной скоростью. Отвлекаясь на эти мелочи, он упустил бы главное: если не принимать в расчет сопротивление воздуха, все предметы падают с одинаковой скоростью независимо от их массы».