Книга: По следам бесконечности

Третий кризис

Третий кризис

Казалось, все говорило о том, что теперь шествие теории множеств будет победным. Стремительно росло число публикуемых работ. Чуть ли не поголовно увлекались новой теорией молодые математики и студенты. Наконец получил глубокое и всестороннее обоснование анализ бесконечно малых.

— Мы можем сказать сегодня с удовлетворением, — торжественно объявил один из самых выдающихся математиков XIX века французский ученый Анри Пуанкаре (1854–1912), — что достигнута абсолютная строгость.

Вообще это был весьма любопытный период в истории естествознания, когда не только в математике, но и в физике создалось ощущение безмятежного благополучия, которое уже ничто не сможет нарушить. Разумеется, ученые знали, что есть еще немало проблем, которые предстоит исследовать, но были искренне убеждены в том, что в их распоряжении имеются уже все средства для решения чуть ли не любых задач.

В действительности же это было всего лишь обманчивое затишье перед бурей. И она разразилась почти одновременно и в физике и в математике. Возможно, такое совпадение не было простой случайностью. Историкам науки еще предстоит исследовать этот вопрос. Во всяком случае физика и математика развивались в тесной связи друг с другом.

То, что произошло в физике, достаточно общеизвестно. Был открыт целый ряд новых фактов, которые не укладывались в стройную и, казалось бы, непогрешимую картину мира, созданную классической физикой. Этот конфликт между теорией и природой привел к настоящей революции — появились совершенно новые физические теории: теория относительности и квантовая механика, новые не только в смысле новых положений и формул, но и в смысле совершенно нового подхода к пониманию явлений природы.

Кризис в математике разразился уже через два года. после оптимистического заявления Пуанкаре. Известный английский ученый Б. Рассел и независимо от него Цермелло обнаружили неожиданный парадокс. Оказалось, что стройные и, казалось бы, логически неуязвимые положения теории множеств приводят к вопиющему логическому противоречию. Суть его состоит в следующем.

Некоторые множества содержат сами себя в качестве одного из элементов. Например, множество всех абстрактных понятий само является абстрактным понятием и потому тоже входит в это множество.

Вполне правомерно, с точки зрения канторовской теории множеств, рассматривать и множество всех существующих вообще множеств или множество всех множеств, обладающих определенным свойством.

Вот и составим множество всех множеств, которые не являются своим собственным элементом, и назовем его множеством А. Но поскольку мы собрали все множества, обладающие таким свойством, среди них должно быть и само множество А. Следовательно, А принадлежит к числу множеств, которые являются своим собственным элементом. Но ведь мы составили множество А только из таких множеств, которые не входят сами в себя.

Несколько короче эту странную ситуацию можно выразить в следующей парадоксальной фразе: множество всех множеств, не являющихся своим собственным элементом, является своим элементом тогда и только тогда, когда оно не является своим элементом…

Тот же парадокс можно изложить и в более житейской форме. Одному брадобрею разрешили брить тех и только тех людей, которые не бреются сами. Таким образом, множество всех людей на Земле, казалось бы, делится на две категории, два различных подмножества — подмножество тех, кто бреется сам, и тех, кто сам не бреется.

Но к какому из двух подмножеств отнести самого парикмахера?

Если он сам себя брить не будет, то попадет в число тех, кого он должен брить. Но если он сам себя побреет, то окажется среди тех людей, которых он брить не должен.

Некоторые парадоксы теории множеств были известны и до этого. Два из них обнаружил сам Кантор, когда после продолжительной болезни, вызванной нервным переутомлением, слова вернулся к математическим исследованиям.

Но парадокс Рассела — Цермелло произвел неизмеримо более сильное впечатление. Ведь он затрагивал не только теорию множеств и даже не только математику, но и логику вообще, — вспомним историю с брадобреем.

Возможно, все дело в том, что нельзя рассматривать слишком обширные множества — такие, как множество всех множеств, обладающих определенными свойствами.

Но если запретить множество всех множеств, мы придем к противоречию с канторовским определением множества.

«Чтобы вообще иметь теорию множеств, — пишет известный математик С. К. Клини в своей книге „Введение в математику“, — надо иметь теоремы, справедливые для всех множеств, а все множества, по канторовскому определению, образуют множество. Если это не так, то мы должны указать, каким определением множества мы будем пользоваться взамен…»

Но главное даже не в этом. Дело в том, что одним из основных, фундаментальных положений логики является так называемый закон исключенного третьего, основанный на многовековом практическом опыте человечества. Коротко этот закон можно выразить так: или «да» — или «нет». Другими словами, любое утверждение либо истинно, либо ложно — третьего быть не может, не может человек одновременно и бриться и не бриться.

Закон исключенного третьего можно сформулировать и в несколько иной более строгой форме: если об одном и том же предмете высказывается некоторое утверждение и утверждение, его отрицающее, то если одно из них истин по, то другое обязательно ложно.

В истории с брадобреем мы еще как-то можем найти выход из положения: брадобрея, удовлетворяющего предъявленным условиям, просто не может существовать, и закон исключенного третьего остается неприкосновенным. А вот в общем случае бесконечных множеств все обстоит значительно сложнее. Здесь уже далеко не ясно, существует или не существует объект с заданными свойствами; не можем мы, очевидно, поручиться и за справедливость закона исключенного третьего.

В области бесконечного отказывает наш опыт, а следовательно, нет и никакой гарантии того, что на эту область можно автоматически переносить законы нашей обычной логики.

События, развернувшиеся после того, как стал известен парадокс Рассела — Цермелло, Жорж Адамар назвал землетрясением в математике. И очень многие исследователи сразу же отшатнулись от теории множеств, а вместе с ней снова от операций с бесконечностью.

Даже немецкий математик Рихард Дедекинд (1831–1916), который начал работать в области теории множеств еще до Кантора и одновременно с Кантором развивал основные идеи в этой области, теперь пытался в своих работах обходиться без теоретико-множественных представлений.

А уже известный нам Давид Гильберт предпочитал воздерживаться от утверждений, что прямые и плоскости есть множества точек.

— Опубликование парадокса Рассела — Цермелло, — говорил он, — оказало на математический мир прямо-таки катастрофическое действие.

Но, как совершенно справедливо заметил, правда, по несколько иному поводу, советский ученый академик А. Н. Колмогоров, проблема не перестает быть проблемой от того, что о ней стараются не говорить.

Сам Кантор поставил устранение парадоксов главной своей задачей. И в последние годы жизни, по существу, только и занимался этой проблемой. Но решить ее так ему и не удалось.

Трудились над ней и другие математики. Но словно в насмешку число парадоксов не только не уменьшилось, но даже возросло.

Среди этих парадоксов особый интерес представляет так называемый «парадокс Сколема», который состоит в том, что при определенных обстоятельствах можно несчетное множество отобразить в счетное множество. Этот парадокс наводит на весьма интересную мысль: понятия счетности и несчетности, быть может, носят относительный характер.

Третий кризис оснований математики оказался необычайно глубоким. Он не преодолен до конца и сегодня, хотя, после того как прошел первый шок, над поисками выхода из создавшейся критической ситуации задумывались многие выдающиеся умы.

Чтобы лучше оценить случившееся, попробуем представить себе обсуждение этой волнующей проблемы математиками различных направлений.

Первый математик: Я надеюсь, все со мной согласятся, что состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо.

Второй математик: Еще бы! Подумайте только: в математике, этом образце достоверности и истинности, образование понятий и ход умозаключений приводит к нелепостям. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?

Третий математик: Что произошло бы с истинностью наших знаний, если бы даже в математике не стало достоверной истины?

Первый математик: На мой взгляд, в традиционном понимании математики и логики нет решительно ничего, что могло бы послужить основой для устранения парадокса Рассела. Это надо уяснить с самого начала. Я убежден, что любые попытки выйти из положения с помощью традиционных способов мышления, имевших хождение до XX столетия, заведомо недостаточны и обречены на провал.

Второй математик: Мне думается, что все дело в проблеме существования. Как в самом деле выяснить, существует ли то или иное бесконечное множество с заданными свойствами? Ведь мы в принципе не можем перебрать все его элементы. Необходим какой-то критерий.

Первый математик: Какой же?

Второй математик: Я думаю, наиболее целесообразно считать существующим то, что внутренне непротиворечиво. Помните, как у Гегеля: все разумное действительно.

Третий математик; А на мой взгляд, существующим следует признавать только то, что можно сконструировать, построить. Разумеется, хотя бы в принципе.

Первый математик: А все остальное?

Третий математик: Все остальное следует из математики исключить, безжалостно изгнать как нечто лишенное смысла. Разумеется, нельзя полностью исключить из математики бесконечность, но вполне возможно уничтожить ее актуальный характер.

Первый математик: А как же быть с логикой?

Второй математик: Все дело в бесконечности, в бесконечности как таковой. А поскольку бесконечность проникает во всю математику, неизбежна реформа не только математики, но также и логики. Надо изучать математические построения сами по себе, а классическая логика для этого явно непригодна. И прежде всего необходимо отвергнуть принцип исключенного третьего.

Первый математик; Не слишком ли радикальные меры вы предлагаете? Для того чтобы вылечить палец, незачем ампутировать ногу. Отнять у математиков закон исключенного третьего — это то же самое, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользоваться перчатками.

Такова ситуация. И наша маленькая дискуссия рисует ее достаточно объективно. Ибо все или почти все слова, произнесенные ее участниками, действительно были, хотя и в разное время, произнесены вполне реальными представителями математической науки.

Впрочем, на первых порах споры и диспуты были далеко не столь академичными. Страсти накалялись до предела.

— Не может быть никакой дискуссии, — говорил в то время математик Лебег, — ибо у спорящих нет общей логики, и ничего, кроме взаимных оскорблений, у них получиться не может.

Прошло двадцать пять лет. И вот в сентябре 1930 года по инициативе научного журнала «Открытия» в г. Кёнигсберге собрался международный симпозиум, призванный обсудить вопрос об основаниях математики, все еще не потерявший свою остроту.

«Участники симпозиума серьезно пытались нанять друг друга, — вспоминает один из тогдашних докладчиков А. Гейтинг. — Но каждый был убежден, что именно его точка зрения единственно правильная, что никакая другая не имеет права называться математикой и что его точка зрения обязательно победит в недалеком будущем».

Увы, надежды не оправдались. Прошло еще сорок с лишним лет, но кризисная ситуация сохранилась.

«Дух мирного сотрудничества одержал победу над духом непримиримой борьбы, — писал недавно тот же А. Гейтинг. — Ни одно из направлений теперь не претендует на право представлять единственно верную математику».

Итак, кризис, вызванный парадоксом Рассела — Цермелло, не преодолен и до сегодняшнего дня. И значение этого кризиса далеко не ограничивается рамками математики. В сущности, это глубокая философская проблема.

Столкновение с бесконечностью привело древнегреческих философов к зачаткам диалектического мышления. Оно показало, что реальный мир отнюдь не является зеркальным повторением наших идеализированных представлений о нем, что далеко не всегда и не во всем можно полностью доверяться наглядности и обыденному здравому смыслу.

Вторая встреча с бесконечностью — с бесконечно малыми величинами — также имела глубокое принципиальное значение. Она убедительно продемонстрировала, что понятие бесконечного не беспочвенная абстракция, ничего общего не имеющая с реальной действительностью — оказалось, что с бесконечностями можно оперировать и получать практические результаты.

Кризис, вызванный парадоксом Рассела — Цермелло, стал новой ступенью в изучении проблемы бесконечного.

И эта новая ступень, как с полным основанием считают многие ученые, потребовала и нового способа мышления, соответствующего тому уровню развития естествознания, какого оно достигло в нашу эпоху.

Существует ли такой способ? Да, существует. Это материалистическая диалектика, отражающая, с одной стороны, существо тех реальных процессов, которые происходят в окружающем нас мире, а с другой стороны, сложный и противоречивый процесс их познания.

И, пожалуй, самое знаменательное, что этот метод и сам по себе не является чем-то застывшим и раз навсегда данным. Как подчеркивал В. И. Ленин, диалектический материализм меняет свой вид с каждым великим научным открытием.

Революция в физике уже внесла свой весомый вклад в развитие материалистической диалектики. Теория относительности раскрыла перед нами глубочайшую внутреннюю взаимосвязь, казалось бы, совершенно разнородных явлений природы, убедила в том, что многие физические величины, представлявшиеся абсолютными, в действительности изменяются в зависимости от внешних условий. Квантовая теория разрушила метафизическое представление о причинности, показав, что будущее отнюдь не вытекает из прошлого с железной однозначностью, а связано с ним законами вероятности.

Кроме того, революция в физике продемонстрировала относительность наших знаний, не оставив сомнений в том, что любые естественнонаучные теории всегда обладают определенными границами применимости.

Что принесет с собой разрешение третьего великого кризиса в математике?

«Возможно, — говорит академик Наан, — мы стоим на пороге наиболее грандиозной революции в точных науках, в сравнении с которой даже коперниковская или канторовская революция или революции, связанные с открытием неэвклидовых геометрий, построением квантовой теории или теории относительности будут казаться не столь уж радикальными».