Книга: По следам бесконечности

Лейбниц против Ньютона

Лейбниц против Ньютона

Новый этап в развитии представлений о бесконечности связан с созданием так называемого математического анализа — изобретением дифференциального и интегрального исчислений, которое справедливо считается одним из величайших достижений науки XVII века.

Важнейшим событием того времени и бесспорно одним из крупнейших в истории естествознания и человеческой мысли вообще было появление ньютоновского труда «Математические начала натуральной философии».

Эта книга как бы подвела итоги всему тому, что было сделано за предшествующие тысячелетия в изучении простейших форм движения материи.

По словам академика С. И. Вавилова, сложные перипетии развития механики, физики и астрономии, выраженные в именах Аристотеля, Птоломея, Коперника, Галилея, Кеплера, Декарта, поглощались и заменялись гениальной ясностью и стройностью «Начал».

По образу и подобию «Начал» возникла «классическая физика», применявшая ньютоновское учение о пространстве, времени, массах и силах к решению самых разнообразных задач механики, физики и астрономии.

Математические дарования, писал академик С. И. Вавилов, подобно музыкальным нередко врожденны, проявляются рано и органически определяют склад ума данного человека.

Исаак Ньютон (1643–1727) как раз и был именно таким врожденным математиком.

«Для того, чтобы научиться математике, — говорил Фонтенель в „Похвальном слове памяти Ньютона“ в 1727 году, — Ньютон не изучал Эвклида, который казался ему слишком ясным, слитком простым, не стоящим затраты времени; он знал его в некотором смысле раньше, чем его прочитал; один взгляд на текст теорем мгновенно создавал и доказательство… По отношению к Ньютону можно было бы применить то, что Лукиан сказал о Ниле, истоки которого были неизвестны древним: „Человеку не позволено видеть Нил слабым и рождающимся“».

Вероятно, эта пышная фраза, которые так любило XVIII столетие, не совсем точно отражает существо дела, ибо известно, что Ньютон как раз мыслил геометрически, классический геометрический метод древних был основным орудием его математических изысканий.

Что же касается Эвклида, то он вряд ли обошел и его своим вниманием: не так давно был найден принадлежавший Ньютону экземпляр геометрии Эвклида, на полях которого великий физик оставил множество собственных заметок и чертежей.

Но как бы там ни было, Ньютон и в самом деле открыл своими исследованиями новую эпоху в развитии математики. Хотя, судя по всему, он смотрел на математику лишь как на вспомогательное орудие, необходимое для физических исследований. Его интересы были целиком сосредоточены на физике, а астрономия давала ему необходимые материалы. Именно физические задачи и привели Ньютона к великим математическим открытиям. Так, разрешение задач новой механики, разработкой которой занимался Ньютон, послужило толчком к открытию исчисления бесконечно малых.

Исаак Ньютон прожил долгую, восьмидесятилетнюю жизнь. Он был свидетелем множества разнообразных исторических событий: казни Карла I, правления Кромвеля, реставрации Стюартов, революции 1688 года. Он был современником Петра I и Людовика XIV.

Тем не менее жизнь Ньютона, отличавшегося редким здоровьем, протекала исключительно спокойно, мирно и однообразно, он даже не был женат и почти не имел друзей. Мимо него проходили и все политические потрясения.

Ньютон был гением. Но успехам его работы во многом способствовали мирное однообразие жизни и сосредоточенность мысли и работы. Научная деятельность, особенно в первой половине жизни, поглощала его целиком.

Можно сказать, что Ньютону повезло — с детства его окружали образованные люди. С ранних лет он проявлял интерес к математике и наблюдениям природы. И характерно, что уже в эти юные годы ум его искал оригинальных решений. Однажды, например, он решил определить скорость ветра во время грозы. И так как, естественно, в его распоряжении не было никаких приборов, он придумал остроумный способ. Выбрал ровную площадку и, разбежавшись, стал прыгать по ветру и против ветра, каждый раз отмечая дальность своего прыжка. Сравнив результаты, он и достиг поставленной цели.

Любопытно, что молодого Ньютона привлекали также всякого рода фокусы, в особенности химические. Но ведь любой фокус — это своего рода парадокс, когда результат, казалось бы, противоречит и научным представлениям и здравому смыслу. А когда узнаешь секрет, начинаешь глубже и лучше понимать подлинную связь явлений.

В то же время, по воспоминаниям современников, Ньютон был здравомыслящим юношей, молчаливым и задумчивым, в играх он принимал участие неохотно, предпочитая оставаться дома.

Существенную роль в развитии способностей молодого Ньютона, несомненно, сыграло и то обстоятельство, что в знаменитом кембриджском Тринити-Колледже, где он обучался начиная с 1661 года, студентам предоставлялась широкая инициатива и свобода. И здесь Ньютон быстро сформировался как ученый.

Как это ни парадоксально прозвучит, но определенную роль в развитии ньютоновских исследований сыграла… страшная эпидемия чумы, разразившаяся в 1664 году и свирепствовавшая в течение почти четырех лет. Вынужденный бежать от смертельной угрозы в деревню, Ньютон в сельской тишине получил возможность сосредоточиться и глубоко продумать идеи, возникшие у него в колледже. Здесь в течение всего двух лет он и создал свой метод флюксий, положивший начало дифференциальному исчислению.

Однако возвратившись в колледж, Ньютон никому не рассказал о своих открытиях и стал известен как создатель анализа бесконечно малых лишь спустя 30 лет, а трактат «Метод флюксий и бесконечные ряды», написанный Ньютоном в 1672 году, был издан лишь в 1736 году, уже после смерти ученого.

Между прочим, Ньютон не торопился обнародовать и другие свои работы. Об открытии всемирного тяготения мир узнал спустя 20 лет, а результаты оптических исследований были опубликованы спустя 5–6 лет после их получения. Дело в том, что великий физик весьма требовательно относился к точности и безошибочности своих выводов и утверждений.

Может быть, столь удивительная медлительность в публикации трудов в какой-то мере объясняется соображениями, которые Ньютон изложил в качестве совета одному из своих знакомых, собиравшемуся в дальнее путешествие: «Вы мало или ничего не выиграете, если будете казаться умнее или менее невежественным, чем общество, в котором вы находитесь».

Вскоре после возвращения из деревни, в 1669 году, Ньютон передал своему учителю Барроу на просмотр сочинение об анализе бесконечных рядов. В то время Ньютон был еще молодым магистром. По рекомендации Барроу, который охарактеризовал Ньютона как человека с необычайными способностями, с рукописью ознакомился один из крупных математиков того времени Коллинз.

Однако эта работа увидела свет только в 1711 году в связи с полемикой, возникшей между Ньютоном и другим выдающимся ученым того времени Лейбницем (1646–1716).

Отец Лейбница был довольно известным юристом, в течение 12 лет преподававшим философию в Лейпцигском университете; мать — дочерью известного профессора, также преподававшего юридические науки. Отец оказал на маленького Лейбница благотворное влияние. Он старался развить в ребенке любознательность и часто рассказывал ему небольшие эпизоды из истории.

Подобно Ньютону, уже в школьные годы Лейбниц проявлял самостоятельность и оригинальность мышления. Например, в 12 лет он изобрел способ изучать римских авторов без помощи словаря и без содействия учителя. Случайно натолкнувшись на две книги, одна из которых была сочинения Ливия, он самостоятельно прочитал их.

При чтении Ливия он постоянно становился в тупик. Не имея понятия ни о жизни древних, ни об их манере писания, не привыкнув к возвышенной риторике историографов, стоящей выше обыденного разумения, он, по-собственному признанию, не понимал ни строчки. Но это издание было старинное, с гравюрами. Поэтому он внимательно рассматривал гравюры, читал подписи и, мало заботясь о темных для него местах, попросту пропускал все то, чего не мог понять. Так он несколько раз перелистывал всю книгу. Постепенно стало проясняться то, что было непонятным. Наконец, наступило время, когда ему стала вполне ясной большая часть прочитанного.

Один из учителей, узнав об этих занятиях Лейбница, явился к его воспитателям и потребовал, чтобы у него отобрали книги, годные лишь для более старшего возраста. К счастью, свидетелем этого разговора случайно оказался один ученый, живший по соседству, друг хозяина дома. Он стал доказывать, что было бы нелепо подавить суровостью и грубостью первые проблески развивающегося таланта. И уговорил родственников Лейбница допустить его в библиотеку отца.

— Я торжествовал, — рассказывал впоследствии сам Лейбниц, — как если бы нашел клад, потому что сгорал нетерпением увидеть древних, которых знал только по имени — Цицерона и Квинтилиана, Сенеку и Плиния, Геродота, Ксенофонта и Платона… Все это я стал читать, смотря по влечению, и наслаждался необычайным разнообразием предмета.

Впоследствии Лейбниц отмечал, что сама судьба назначила ему остаться без посторонней помощи, без совета и уже в юном возрасте руководствоваться собственной смелостью. Читая древних авторов, он приобрел известного рода окраску не только в выражениях, но и в образе мыслей. С той поры, по словам Лейбница, он составил себе два основных правила; искать в словах и выражениях ясности, в вещах — пользы. Позднее он узнал, что ясность есть основа всякого суждения, а польза — основа всякого открытия и что большинство людей заблуждается именно потому, что слова их нелепы, а опыты бесцельны.

«Я не только умел с необычайной легкостью применять правила к примерам, чем чрезвычайно изумлял учителей, так как никто из моих сверстников не мог сделать того же, но я еще тогда во многом усомнился и тогда еще носился с новыми мыслями».

Еще в ранней молодости Лейбниц пытался создать азбуку мыслей, то есть записывать с помощью знаков простейшие общие понятия, а из комбинации этих знаков должны были получаться суждения и умозаключения.

«Две вещи, — пишет Лейбниц, — принесли мне огромную пользу, хотя обыкновенно они приносят вред. Во-первых, я был, собственно говоря, самоучкой, во-вторых, во всякой науке, как только я приобретал о ней первые понятия, я всегда искал нового, часто просто потому, что не успевал достаточно усвоить обыкновенное…»

Пятнадцати лет Лейбниц поступил в Лейпцигский университет. Характер его занятий по-прежнему оставался крайне разносторонним, он читал все без разбора. И хотя учился на юридическом факультете, посещал и многие другие лекции, в особенности по философии и математике.

Одним из его учителей оказался Яков Томазий, поклонник Аристотеля, человек с колоссальной эрудицией и выдающимся преподавательским талантом. Томазий много способствовал систематизации разнородных и разрозненных знаний Лейбница. Его лекции познакомили Лейбница с великими идеями конца XVI и начала XVII столетий. В то время завоевали всеобщее признание труды Коперника и Галилея, а философия Декарта вытеснила даже авторитет Аристотеля. Огромное впечатление на Лейбница произвели также труды Франциска Бекона, Кампанеллы и Кеплера.

Лейбниц был среднего роста, худощав и бледнолиц. Он носил черный как смоль парик и на первый взгляд производил впечатление довольно невзрачного человека, но отличался широтой натуры, а порой даже безалаберностью. Он любил душевное возбуждение и был энергичен, по его собственным словам, имел живые желания. В его натуре было много противоречивого: он был вспыльчив, но гнев его легко прекращался, охотно путешествовал, но избегал упражнений, требующих сильного движения.

Лейбниц ценил веселую беседу и умел говорить с людьми всех званий и профессий, очень хорошо относился к детям. И чрезвычайно любил рассказывать анекдоты из своего детства, желая доказать, что еще ребенком он был существом необыкновенным.

Душевное настроение Лейбница вполне гармонировало с его философским оптимизмом. Лейбниц был почти всегда весел и оживлен, и обо всех всегда отзывался хорошо. И никогда не относился свысока ни к какому учению.

Таким образом, в натуре и характере Ньютона и Лейбница можно найти много общего. Оба с детства проявляли стремление оригинально мыслить, с уважением относились ко всему, что было до них достигнуто в науке, оба отличались завидным душевным здоровьем и больше всего ценили в занятиях наукой возможность произнести свое слово. Наконец, оба обладали богатым воображением и фантазией.

Напрасно думают, писал В. И. Ленин, что фантазия нужна только поэту. «Это глупый предрассудок! Даже в математике она нужна, даже открытие дифференциального и интегрального исчислений невозможно было бы без фантазии»[6].

Исторические но своему значению математические исследования Ньютона и Лейбница развивались не совсем на пустом месте. В начале XVII столетия трудами Кеплера и Кавальери были заложены основы совершенно новой отрасли математики.

Иоганн Кеплер, который вошел в историю науки открытием законов движения планет, разработал метод операций с бесконечно малыми величинами, получивший название «интеграционного». Любую фигуру или тело он представлял в виде суммы бесконечного множества бесконечно малых частей. Например, круг, считал он, состоит из бесконечно большого числа бесконечно узких секторов. И хотя природа бесконечно малых у Кеплера оставалась невыясненной, этот метод имел большое значение для развития математики.

Как мы уже отмечали, похожий метод применял и Архимед. Однако письмо Архимеда к Эратосфену, в котором он излагал его сущность, было обнаружено лишь в начале XX столетия.

Аналогичный метод разрабатывал и Кавальери. Однако все это были только первые робкие шаги. Настоящее развитие операции с бесконечно малыми получили в трудах Ньютона.

Ньютон переменные величины называл флюентами. А отношение бесконечно малого прироста одной флюенты к соответствующему бесконечно малому приросту другой — флюксиями. В современной терминологии принято обозначение, введенное впоследствии Лейбницем, — дифференциал.

Ньютон прекрасно сознавал значение своего открытия и отчасти закрепил свой приоритет в этой области письмом к Коллинзу в декабре 1672 года. Коллинз был своеобразным центром научной переписки английских математиков с иностранными учеными.

В письме Ньютон сообщал о своем открытии, но лишь в самой общей форме — самого метода он не указывал и не объяснял, а только пояснял его несколькими примерами.

В октябре 1676 года Ньютон в письме к секретарю Королевского общества Ольденбургу вновь сообщил о своем новом методе и изложил его сущность в соответствии с научными обычаями того времени в зашифрованной особым образом строке. Шифр был не слишком сложен: числа, стоящие перед буквами, указывали, сколько раз эти буквы повторяются в тексте. При хорошем знакомстве с латинским языком расшифровать фразу было не так уж сложно: «Дано уравнение, заключающее в себе текущее количество (флюенты), найти течения (флюксии) и наоборот».

Более детальное изложение метода было зашифровано Ньютоном сложнее.

Впоследствии, когда свои работы по исчислению бесконечно малых опубликовал Лейбниц, между ним и Ньютоном вспыхнул спор о приоритете. Он длился на протяжении многих лет, но так, по существу, и не привел к каким-либо результатам. Историки до сих пор обсуждают этот вопрос, пытаясь выяснить, заимствовал ли Лейбниц свои идеи у Ньютона или разработал их самостоятельно.

В начале 1673 года Лейбниц в течение нескольких месяцев находился в Лондоне и часто посещал Ольденбурга, который был в курсе математических работ Ньютона.

И только после посещения Лондона Лейбниц всерьез заинтересовался математикой. Вернувшись в Париж, он разделил свое время между философскими и математическими упражнениями, которыми занимался совместно с известным физиком Гюйгенсом.

В 1676 году Лейбниц снова проездом побывал в Англии и в это время лично познакомился с Коллинзом, у которого хранились рукописи Ньютона.

Вскоре после этого он как раз и выработал основания своего метода — дифференциального исчисления.

Не говорят ли все эти факты о том, что Лейбниц мог узнать содержание работ Ньютона?

Примерно в то же время между Ньютоном и Лейбницем завязалась переписка. И уже в июне 1677 года Лейбниц ответил на письма Ньютона изложением основ своего дифференциального исчисления, которое, по существу, отличалось от метода Ньютона только обозначениями.

В 1684 году в лейпцигском журнале «Деяния ученых» появилась статья Лейбница о дифференциальном исчислении, в котором он ни разу не упомянул имени Ньютона. Он сделал это лишь в следующей статье об интегральном исчислении. Однако и на этот раз лишь в довольно неопределенных выражениях.

Наоборот, Ньютон во второй книге «Начал» объективно отозвался о достижениях Лейбница: «В письмах, которыми около 10 лет тому назад я обменивался с весьма искусным математиком Лейбницем, я ему сообщал, что обладаю методом для определения максимума и минимума, проведения касательных и решения тому подобных вопросов… Знаменитейший муж отвечал мне, что он также напал на такой метод, и сообщил мне свой метод, который оказался едва отличающимся от моего и то только терминами и начертаниями формул».

В 1693 году Лейбниц обратился к Ньютону с предложением возобновить переписку. Ньютон ответил в дружелюбном тоне:

«Наш Уоллис присоединил к своей „Алгебре“ только что появившиеся некоторые из писем, которые я писал к тебе в свое время. При этом он потребовал от меня, чтобы я изложил открыто тот метод, который я в то время скрыл от тебя переставлен нем букв; я сделал это коротко, насколько мог. Надеюсь, что я при этом не написал ничего, что было бы тебе неприятно, если же это случилось, то прошу сообщить, потому что друзья мне дороже математических открытий».

Однако переписка на этом прервалась и больше уже не возобновлялась.

Скорее всего Лейбниц не знал о ньютоновском методе флюксий, хотя письма Ньютона и могли натолкнуть его на определенные идеи.

Да в конце концов и не в том дело, кто именно из двух великих ученых внес в разработку основ математического анализа наибольший вклад. Гораздо важнее, что эти основы были заложены их выдающимися исследованиями.

Уже с 90-х годов XVII столетия математический анализ стал быстро распространяться и прививаться в форме, предложенной Лейбницем, которая была предпочтительнее, благодаря общности, удобству обозначений и подробной разработке различных приемов.

Новый метод оказался необыкновенно плодотворным, к тому же он открыл возможность разнообразных научных и практических приложений. Эти обстоятельства не могли не привлечь внимания многочисленных исследователей. И потому в следующем столетии математика развивалась исключительно бурно, отличаясь изобилием открытий и множеством оригинальных идей.