Книга: Как работает Вселенная: Введение в современную космологию

6.1.1. Шварцшильдовские черные дыры

6.1.1. Шварцшильдовские черные дыры

Рассмотрим вначале простейшую невращающуюся незаряженную черную дыру. В ОТО такая черная дыра описывается метрикой Шварцшильда и, соответственно, называется шварцшильдовской черной дырой. Это решение сферически симметрично и зависит только от одной радиальной координаты r. В центре при r = 0 находится сингулярность, т. е. место, в котором кривизна пространства-времени обращается в бесконечность. С сингулярностями мы уже сталкивались, говоря о Большом взрыве, Большом хрусте и Большом разрыве. Однако эта сингулярность окружена со всех сторон так называемым горизонтом событий черной дыры, имеющим радиус, пропорциональный ее массе. Этот горизонт работает как полупроницаемая мембрана. Сквозь горизонт вещество и излучение могут пройти только внутрь черной дыры, но не могут выйти наружу. Попав внутрь черной дыры, пройдя горизонт событий, любое тело обязано двигаться, уменьшая радиальную координату. Это связано с тем, что под горизонтом событий радиальная координата становится времениподобной, т. е. ведет себя так, как время в привычном для нас пространстве. Поэтому точно так же, как мы не можем двигаться против времени, тело, прошедшее горизонт событий, будет неотвратимо падать на центральную сингулярность.

Какова будет судьба тела, падающего в черную дыру? Если оно свободно падает, то с релятивистской точки зрения находится в состоянии покоя в выделенной системе отсчета. Но на него будут действовать приливные силы, которые чрезвычайно велики вблизи сингулярности. Они стремятся сжать его в тангенциальном направлении и растянуть в радиальном, сделав похожим на макаронину, которая немного толще в верхней части[89]. Так что, если вы хотите испытать, что чувствует человек, падающий в черную дыру, не подвергая себя смертельной опасности, можете привязать гирю к вашим ногам и висеть на руках на гимнастических кольцах, как показано на рис. 6.1[90].

При пролете горизонта событий ничего особенного не произойдет; вообще, с точки зрения падающего, момент пересечения телом горизонта событий никак не выделен. При подлете к центральной сингулярности приливные силы станут бесконечными. В результате тело будет разорвано на куски, куски – на кусочки, кусочки – на атомы, а атомы – на элементарные частицы.

Приливные силы пропорциональны M/r3, где М – масса черной дыры. Это нерелятивистское приближение, которое справедливо лишь при достаточно большом расстоянии от сингулярности. Для близких расстояний должна быть использована релятивистская формула, но необходимость ее использования означает, что приливные силы велики и падающий человек уже давно разорван; так что, пока он жив, данное приближение хорошо работает. Горизонт событий находится на расстоянии rg, где rg – радиус Шварцшильда, он же гравитационный радиус, равный rg = 2GM/c2? 2,95 M/M? км, где M? – масса Солнца. Таким образом, если выражать расстояние до черной дыры в ее радиусах Шварцшильда, то приливная сила будет пропорциональна (rs/r)3/M2, что означает, что приливные силы на расстоянии, равном заданному числу радиусов Шварцшильда, слабее для более массивных черных дыр.

В частности, если свободно падающий наблюдатель пересекает горизонт событий сверхмассивной черной дыры, он не почувствует ничего особенного. Но не факт, что он сможет долететь в целости до горизонта событий небольшой черной дыры.

Оценим теперь время полета внутри черной дыры – от пересечения горизонта событий до центральной сингулярности. Используем прием, столь любимый физиками-теоретиками, который называется анализом размерности. Так как время падения – кинематическая величина, оно не может зависеть от параметров падающего тела из-за принципа эквивалентности. Таким образом, оно может зависеть только от параметров черной дыры. Черная дыра Шварцшильда имеет только один параметр: массу. У нас также есть две соответствующие фундаментальные константы – гравитационная постоянная G и скорость света в вакууме с. Единственной комбинацией этих трех величин с размерностью времени является GM/c3. Таким образом, время падения в черную дыру будет равно kGM/c3 ? 4,93 k M/M? мкс, где k – некий безразмерный коэффициент. Мы получили ответ, причем в рамках ОТО, ничего не рассчитывая и не используя никаких формул. В этом состоит прелесть анализа размерности. Тут мы могли бы добавить, что величина k по порядку величины не должна сильно отличаться от единицы.

Чтобы найти ее точное значение, понадобятся и формулы, и расчеты. Величина k зависит от того, как именно тело падает, но она не может превышать ? в любом случае, даже если тело – это ракета и она включит свой двигатель, пытаясь изо всех сил затормозить падение. Это предельное значение k = ? не может быть получено из нерелятивистских формул; заинтересованных отошлем к задаче 17.3 в книге (Lightman, 1975). Таким образом, максимальное время падения в черную дыру равно ?GM/c3 ? 15,5 M/M? мкс. Для черной дыры в центре нашей Галактики Sagittarius A* это время будет около минуты. Для самой массивной из известных черных дыр, находящейся в галактике NGC 4889, с массой около 21?109 солнечных масс, оно было бы около 90 часов, так что падающий наблюдатель имел бы достаточно времени, чтобы обдумать, было ли его решение прыгнуть в дыру действительно мудрым.

Время падения измеряется в системе падающего наблюдателя, т. е. по его собственным часам. Это уточнение очень важно, так как время, измеренное в разных системах отсчета, т. е. разными наблюдателями, может существенно различаться. Вблизи черной дыры гравитационное поле очень сильно и приводит к замедлению времени, так называемому гравитационному красному смещению.

Обратим внимание на то, что к сингулярности тело приближается по времени, роль которого играет координата r. Такая сингулярность называется пространственноподобной. Другими примерами такой сингулярности являются космологические сингулярности, т. е. Большой взрыв, Большой хруст и Большой разрыв. Остальные три координаты, в том числе координата, обозначаемая буквой t, вне черной дыры соответствующая времени, внутри черной дыры пространственноподобны, т. е. вдоль них можно двигаться в любом направлении. Для иллюстрации рассмотрим световые конусы падающего тела, показанные на рис. 6.2. Напомним, что световой конус – это гиперповерхность[91] в пространстве-времени, которая образуется при прохождении света через определенную точку. Самое главное его свойство – это то, что независимо от того, что делает объект, он не может выйти за пределы своего светового конуса. Более подробная информация приведена в разделе 1.2.8.

Вдали от черной дыры световой конус выглядит вполне нормально: свет распространяется одинаково в любом направлении, поэтому ось светового конуса направлена вдоль оси t. Когда объект приближается к черной дыре, ее гравитация начинает притягивать свет (вспомним гравитационное линзирование). С точки зрения удаленного наблюдателя, свет распространяется быстрее в направлении черной дыры, чем от нее, и световой конус наклоняется в сторону черной дыры. На горизонте событий световой конус наклонен таким образом, что его внешний край проходит параллельно оси t. С этого момента больше невозможно избежать падения в черную дыру. Внутренний край проходит параллельно оси r. Если падающий наблюдатель углубится внутрь черной дыры, его световой конус наклоняется еще сильнее. Теперь оба его края обращены к сингулярности и направлены в противоположных направлениях вдоль оси t. Таким образом, достаточно быстро движущееся тело может двигаться в противоположном направлении оси t, оставаясь внутри своего светового конуса. Возле центральной сингулярности световой конус должен быть повернут на 90°, но эта простая аналогия не очень работает в окрестности сингулярности.

Тело, падая в черную дыру, уменьшает свою потенциальную энергию в гравитационном поле, преобразуя ее в кинетическую. На горизонте событий эта потенциальная энергия становится равной нулю. Если мы будем спускать тело в черную дыру, привязав его к веревке, вращающей при этом ось идеального генератора, мы могли бы получить энергию, равную mc2 – полной энергии покоя тела.

Эта энергия огромна: на каждый грамм вещества приходится 90 ТДж, что составляет около 25 ГВт-час – энергия, производимая за сутки атомной электростанцией. Если бы такой процесс мог быть реализован на практике, это решило бы все энергетические проблемы человечества, а заодно и проблему мусора. Следует также отметить, что эта энергия была бы действительно «зеленой», так как единственным побочным продуктом процесса являлись бы экологически чистые гравитационные волны.

Для наблюдателя, неподвижного относительно черной дыры и находящегося бесконечно далеко (реально – более чем в 100 радиусах) от нее, время течет с обычной скоростью. По мере приближения к черной дыре время начинает замедляться и на горизонте событий полностью останавливается с точки зрения удаленного наблюдателя. Если мы окружим черную дыру сферой и через люк будем медленно стравливать трос с закрепленными на нем кварцевыми часами, то по мере приближения к черной дыре часы будут идти все медленнее и медленнее независимо от принципа их действия (естественно, кроме часов, основанных на силе тяжести, например маятниковых или песочных).

С этим эффектом связаны два расхожих мифа, одним из которых мы обязаны научно-популярной литературе, а вторым – научно-фантастической. Рассмотрим их по порядку.

Широко известен мысленный эксперимент с двумя наблюдателями, один из которых падает в черную дыру, а другой наблюдает за ним, оставаясь неподвижным. При этом утверждается, что из-за описанного выше эффекта замедления времени неподвижный наблюдатель будет видеть падающего вечно, хотя тот достигнет горизонта событий за вполне конечное время в его собственной системе отсчета. Что же на самом деле увидит неподвижный наблюдатель? За время своего падения падающее тело излучит конечное число фотонов, так как этот процесс будет происходить в его собственной системе отсчета. Поток излучения от падающего тела, достигающий неподвижного наблюдателя, с точки зрения формальной математики будет экспоненциально убывать со временем (чтобы «растянуть» конечное число фотонов на бесконечное время), т. е. яркость тела будет уменьшаться. Кроме того, длина волны этого излучения увеличится из-за гравитационного красного смещения и из-за эффекта Доплера. В результате через более-менее продолжительное время до неподвижного наблюдателя будут долетать только отдельные фотоны, излученные падающим телом, да еще и с крайне низкой энергией. Поэтому, хотя формально неподвижный наблюдатель будет вечно «видеть» падающее тело, в реальности объект будет виден конечное время. Именно потому, что свет приходит в виде квантов, через некоторое время внешний наблюдатель увидит последний фотон, испускаемый падающим телом перед пересечением горизонта. Расчеты показывают, что это произойдет довольно быстро.

В одном научно-фантастическом рассказе описана ситуация, когда гибнущая цивилизация отправила космический корабль, груженный информацией об их достижениях, к черной дыре, чтобы будущие цивилизации смогли его обнаружить и спасти, получив в подарок ценные знания. Возможно ли это? Оказывается, существует конечное время, в течение которого это возможно. По его прошествии неподвижный наблюдатель будет «видеть» (кавычки стоят по причине, описанной в предыдущем абзаце), как корабль-спасатель приближается к спасаемому в течение бесконечного времени, но никогда его не достигнет. Более того, свет от второго корабля никогда не достигнет первого, так что он даже не узнает о том, что кто-то пытался его спасти.

Запас времени на спасение должен быть того же порядка, что и время падения к центральной сингулярности, потому что нет другой доступной характерной шкалы времени. Поскольку это время очень короткое (несколько микросекунд для черной дыры солнечной массы), спасательная команда должна быть чрезвычайно эффективной.