Книга: Большое космическое путешествие

Приложение 1 Вывод формулы E = mc2

Приложение 1

Вывод формулы E = mc²

Допустим, вы находитесь в лаборатории, где частица медленно движется слева направо со скоростью v гораздо ниже с (то есть v << c). Частица подчиняется законам Ньютона, и если она имеет массу m, то, согласно Ньютону, у нее будет импульс P = mv, направленный вправо. Частица испускает в противоположных направлениях два фотона (один влево, другой вправо), каждый из которых обладает энергией E = h?₀.Частица теряет энергию в количестве ?E = 2h?₀, равную той энергии, которую «с точки зрения частицы» уносят два фотона. Эйнштейн показал, что импульс фотона равен его энергии, деленной на скорость света c. С точки зрения частицы фотоны уносят равное количество импульса, но в противоположных направлениях. Поэтому общий импульс двух фотонов «с точки зрения частицы» равен нулю. Частица «считает», что находится в покое (по первому постулату Эйнштейна), и испускает два одинаковых фотона в противоположных направлениях. По соображениям симметрии, если находящаяся в покое частица испускает два равночастотных фотона в противоположных направлениях, то она и остается в покое. Мировая линия частицы остается прямой – скорость ее не меняется (см. рис. 18.4).

Фотон, летящий вправо, в итоге врежется в правую стену лаборатории. Он ударит в стену, и стена немного отскочит вправо. Так действует давление излучения: стена поглощает импульс фотона и под влиянием этого импульса начинает немного сдвигаться вправо. Наблюдатель, сидящий на правой стене, увидит, что в правую стену врезался прилетевший слева фотон и частота этого фотона выше, чем была в момент излучения (сдвинута в синюю часть спектра), поскольку частица движется в сторону правой стены. Это проявление эффекта Доплера. Для сравнения: наблюдатель, сидящий на левой стене, увидит, что летящий влево фотон смещен в красную часть спектра и частота его ниже, чем в момент излучения, поскольку частица удаляется от этого наблюдателя. Более высокочастотный (синий) фотон обладает большим импульсом, чем более низкочастотный (красный). Поэтому толчок в правую стену (с отскоком вправо) будет сильнее, чем толчок в левую стену (с отскоком влево). Два толчка не уравновешиваются, и в целом лаборатория получает импульс вправо. Давайте вычислим, каков этот суммарный толчок.

Время между прохождением гребней волны излученных фотонов (воспринимаемых как волны света), измеренное частицей, равно ?t₀. Время между испусканием двух гребней волны, ?t₀, равно единице, деленной на частоту света 0 с точки зрения частицы. Допустим, частота света – 100 циклов в секунду; например, время между прохождениями соседних гребней волны составляет 1/100 секунды. Тогда ?t₀ = 1/v₀. Пусть v – скорость частицы относительно лаборатории. Часы на частице будут тикать (в системе координат покоя в лаборатории) с частотой ?1 – (v²/c²) по сравнению с часами в лаборатории, об этом мы уже говорили. Но при этих расчетах предполагается, что v << c, поэтому мы игнорируем все члены порядка (v²/c²), уделяя внимание лишь членам порядка (v/c). (Например, если v/c = 10^–4, что соответствует 30 км/c, скорости вращения Земли вокруг Солнца, то v²/c² = 10^–8; этот второй член настолько мал, что им можно пренебречь по сравнению с первым.) Поскольку мы работаем в пределе v << c, частота тиканья часов на частице, в принципе, не отличается от частоты тиканья лабораторных часов. Таким образом, интервал времени между ударами часов на частице (?t₀) и в лаборатории (?t?), в принципе, одинаковы, поскольку частица движется так медленно.

Наблюдатель, находящийся в состоянии покоя относительно лаборатории, видит, что между прохождениями первого и второго гребней волны, испущенной частицей, проходит время ?t₀ = ?t? = 1/ 0. (См. рис. 18.4, где интервал времени показан в виде вертикальной прерывистой линии.) В момент, когда частица испустит вправо следующий гребень волны, он отстанет от первого гребня на расстояние d = (с – v)?t?.Оно равно расстоянию, преодолеваемому лучом света за время ?t? (то есть с?t?) минус расстояние, пройденное частицей (равное v?t?). Оба гребня летят вправо со скоростью света с (согласно второму постулату Эйнштейна); следовательно, они летят параллельно, и расстояние между ними остается постоянным d = (с – v) ?t?.Длина световой волны ?_П, регистрируемая наблюдателем, сидящим на правой стене лаборатории, равна этому расстоянию между гребнями волны, то есть ?_П = (с – v) ?t?.Пространственно-временная схема на рис. 18.4 иллюстрирует этот мысленный эксперимент. Расстояние ?_П между гребнями волны измеряется в некоторый момент лабораторного времени (по горизонтали на данной пространственно-временной схеме).

Следовательно, временной интервал между прибытием двух гребней волны к правой стене равен ?t_П = ?_П/c = (с – v) ?t?/c, а наблюдаемая частота фотона, летящего вправо, составит ?_П = 1/?t_П = c/[(с – v) ?t?] = ?₀c/(с – v). Теперь при v << c величина c/(с – v) примерно равна 1 + (v/c), здесь в v/c остаются лишь члены первого порядка.(Например, если v/c = 0,00001, c/(с – v) = 1/0,99999 = 1,00001 с высокой точностью – можете проверить на калькуляторе.) Следовательно, наблюдатель, сидящий у правой стены лаборатории, видит, что летящий к нему фотон врезается в стену, имея частоту ?_П = ?0[1 + (v/c)].Он наблюдает более высокую частоту, чем была у фотона в момент излучения, и эта частота больше исходной в [1 + (v/c)] раз в силу доплеровского эффекта, где v – скорость частицы. Это стандартная формула доплеровского эффекта для света, смещенного в синюю часть спектра; этот свет попадает в правую стену лаборатории и был излучен частицей, которая на низкой скорости v летит к стене.

Попадая в правую стену, летевший вправо фотон сообщает ей направленный вправо импульс h?_П/c = h?₀[1 + (v/c)]/c.

Также частица излучает фотон, летящий влево. В итоге он врежется в левую стену. Наблюдатель, сидящий у левой стены лаборатории, видит, что этот фотон, летящий к нему, имеет частоту ?_Л = ?₀[1 – (v/c)].Знак скорости в формуле меняется на обратный, поскольку наблюдатель у левой стены видит, как частица удаляется от него со скоростью v.Частота волны с его точки зрения ниже, чем в момент излучения, это объясняется доплеровским эффектом. Следовательно, суммарный направленный вправо импульс, который лаборатория получит от двух фотонов, равен импульсу, который был передан летящим вправо фотоном h?₀[1 + (v/c)]/с минус импульс, сообщенный фотоном, летящим влево, h?₀[1 – (v/c)]/с. Имеем формулу 2h?₀(v/c2) для общего импульса вправо, который два фотона сообщают лаборатории. Лаборатория приобретает такой общий импульс, поскольку более высокочастотный (голубой) фотон, летящий вправо, ударяет стену сильнее, и этот удар не компенсируется более слабым толчком, который сообщает летящий влево более низкочастотный (красный) фотон. Итак, 2h?₀ = ?E – это всего лишь энергия, испускаемая частицей в виде двух фотонов. Направленный вправо импульс, полученный лабораторией, равен ?E v/c².Множитель v/c² получается из множителя v/c, обусловленного доплеровским смещением, и множителя 1/c в силу соотношения импульса и энергии, которую несут фотоны.

По закону сохранения импульса величина импульса, приобретенного лабораторией, должна быть равна величине импульса, потерянного частицей. Импульс частицы равен mv (поскольку v << c, формула Ньютона для импульса в данном случае точна). Скорость частицы не изменяется, и поэтому потерять часть импульса mv частица может лишь одним способом – потеряв часть массы. Уменьшение ее импульса составляет v?m, где ?m – масса, утраченная частицей.

Приравняв ?E v/c² = v?m, находим, что ?E/c² = ?m. Невысокая скорость v нашей частицы сокращается! Поскольку v << c, ответ не зависит от v. Умножив обе части формулы на c², получим ?E= ?mc². Частица теряет массу. Количество утраченной массы ?m, умноженное на c², дает количество энергии, унесенной фотонами ?E. Убираем знаки «дельта» (?) с обеих сторон тождества и получаем E= mc². Энергия, отдаваемая двумя фотонами, равна произведению массы, которую утрачивает частица, на скорость света в квадрате c². Теряя массу, частица испускает некоторое количество энергии, определяемое по формуле E = mc². Во множестве книг объясняется важность этой формулы и рассказывается, как она устроена, но там не пишут, как выводится эта формула. Теперь мы вам об этом рассказали.