Книга: Астероидно-кометная опасность: вчера, сегодня, завтра

7.1. Определение предварительной орбиты и ее последующие уточнения. Оценка точности элементов орбиты

7.1. Определение предварительной орбиты и ее последующие уточнения. Оценка точности элементов орбиты

Для выделения потенциально опасных астероидов из общего числа АСЗ, для оценки вероятности столкновения их с Землей и предотвращения столкновений первостепенное значение имеют знание параметров движения и оценка их вероятных ошибок.

Как известно, движение тела относительно некоторой инерциальной системы координат полностью определяется действующими на него силами и начальными условиями. В качестве последних обычно выбирают координаты и компоненты скорости в некоторый момент времени или шесть элементов орбиты. Обратная задача заключается в том, чтобы по наблюдаемому движению небесного тела определить начальные условия движения, например элементы орбиты в некоторый момент времени. Так как каждое позиционное наблюдение дает две сферические координаты (? и ?), то минимальное количество наблюдений, необходимых для определения шести элементов эллиптической орбиты, равно трем. Орбита, найденная по трем или небольшому числу наблюдений, называется предварительной. Для определения предварительной орбиты большей частью используются методы, основанные на работах Лагранжа, Гаусса и Лапласа [Субботин, 1968; Херрик, 1977; Быков, 1989; Marsden, 1991]. Как правило, при определении предварительной орбиты астероида или кометы учитывается только притяжение Солнца. Возмущающим влиянием больших планет и другими возможными возмущениями в движении тела при этом пренебрегают.

Предварительная орбита имеет невысокую точность как из-за ошибок наблюдений, на основе которых она определена, так и из-за пренебрежения действующими на тело силами. Однако определение предварительной орбиты является необходимым этапом, поскольку оно позволяет вычислить эфемериду тела для продолжения наблюдений в ближайшие дни и не потерять объект. Если в дальнейшем удается провести дополнительные наблюдения или найти в каталогах наблюдения, принадлежащие тому же телу, то предварительная орбита подвергается исправлению, или уточнению, с учетом старых и новых наблюдений. При этом уже учитываются возмущения, вызываемые другими телами Солнечной системы помимо Солнца, и, возможно, иные возмущения.

Уточнение параметров движения чаще всего выполняется по методу наименьших квадратов (МНК). Напомним основные положения этого метода и некоторые формулы, используемые в дальнейшем.

Вновь наблюдаемые координаты тела, как правило, заметно отличаются от тех координат, которые вычисляются согласно теории движения с первоначально найденными параметрами (элементами орбиты тела). Процесс уточнения предварительной орбиты сводится к тому, чтобы найти такие поправки к исходной системе элементов, которые уменьшали бы рассогласование между наблюденными и вычисленными положениями.

Пусть имеются n наблюденных положений тела, которые обозначим как O_k (под O_k можно понимать наблюденное значение любой координаты). По теории движения с исходной системой элементов орбиты E⁰_i (i = 1…, 6) на моменты наблюдений t_k вычисляются положения C_k:

Разности O_k — C_k (их обычно называют «наблюденное минус вычисленное»), с одной стороны, зависят от неточности исходной системы элементов, а с другой, — от ошибок наблюдений, причем вклад первой составляющей на первых порах оказывается существенно больше второй. Функцию F в окрестности исходного значения F (t; E⁰_i) можно представить по степеням приращений элементов орбиты:

Предположим, что ошибки наблюдений малы, и что E₁…, E₆ есть та система элементов, которая позволяет более точно вычислить наблюдаемые значения O_k. Если допустить, что она мало отличается от исходной системы E⁰_i, и что высшими степенями приращений ?E⁰_i можно поэтому пренебречь, то формула (7.1) позволяет написать

Это так называемое условное уравнение относительно искомых поправок ?E⁰_i.

Частные производные в левых частях условных уравнений могут считаться известными функциями, поскольку они всегда могут быть вычислены с большей или меньшей точностью.

Поскольку число наблюдений при уточнении орбиты почти всегда больше числа уточняемых параметров, то система условных уравнений является избыточной. В общем случае речь может идти лишь о ее приближенном решении. В методе наименьших квадратов решение ищется на основе принципа Лежандра — минимизации суммы квадратов остаточных уклонений. Под остаточными уклонениями ?_k понимаются разности между левыми и правыми частями уравнений (7.2):

Согласно принципу Лежандра, искомые неизвестные поправки должны минимизировать величину

Необходимые условия минимума S как функции переменных ?E⁰_i записываются в виде

Эти условия образуют систему из шести линейных уравнений относительно шести неизвестных ?E⁰_i (i = 1…, 6). Например, первое из них записывается в виде

Остальные уравнения записываются аналогично.

Система из шести уравнений (7.3) относительно неизвестных ?E⁰_i называется нормальной. Использование матричного исчисления позволяет представить нормальную систему и ее решение в компактном виде. Составим матрицу коэффициентов условных уравнений:

Обозначим также вектор-столбец с компонентами ?E⁰_i как вектор X, а вектор-столбец правых частей с компонентами O_k — C_k как вектор L. В таком случае система условных уравнений запишется в виде

Нормальная система записывается в виде

где символ T означает транспонирование матрицы (замену строк столбцами и наоборот).

Симметричную матрицу нормальной системы B^TB обозначим буквой Q. Решение нормальной системы может быть найдено умножением обеих частей уравнения на матрицу

где символом Q^-1 обозначена матрица, обратная матрице Q (заметим, что матрица Q^-1 как обратная симметричной матрице, также является симметричной). Произведение обратной матрицы на саму матрицу дает единичную матрицу, вследствие чего решение записывается в виде

Складывая найденные поправки ?E⁰_i с исходной системой параметров E⁰_i, находят исправленную систему. Поскольку при образовании системы условных уравнений мы пренебрегли высшими степенями поправок, то исправленная система элементов не обеспечивает минимального значения суммы квадратов остающихся невязок, хотя обычно уменьшает ее. Для достижения минимума процедуру дифференциального исправления системы элементов приходится повторять до тех пор, пока поправки к элементам не станут достаточно малыми. Найденное таким образом решение называют номинальным.

На практике используется большое число методов решения нормальной системы, в том числе и тот, который, согласно (7.4), основан на обращении матрицы Q, хотя его следует избегать в случае малости определителя матрицы. В теоретическом плане представление решения в виде (7.4) является наглядным и позволяет раскрыть ряд особенностей этого решения. К этому вопросу мы еще вернемся, но прежде рассмотрим вероятностный смысл решения системы условных уравнений методом МНК.

Интересующие нас особенности имеют место только в случае нормального закона распределения ошибок (закона Гаусса):

(e — основание натурального логарифма).

Центр распределения определяется значением элемента в номинальном решении, а дисперсии элементов определяются диагональными элементами матрицы Q^-1 — обратной матрицы нормальной системы. Иначе говоря, если обозначить среднеквадратичную ошибку элемента E_i как ?_i, то

где ? — средняя квадратичная величина остаточных уклонений:

n — число условных уравнений, m — число определяемых неизвестных, в нашем случае 6, Q^-1_ii — i-й диагональный элемент обратной матрицы нормальной системы.

Для нормального распределения ошибок элементов орбиты справедливы особенности нормального распределения, в частности то, что вероятность появления ошибки, превышающей утроенное значение среднеквадратичной ошибки элемента, меньше 0,003.

Когда мы говорим об ошибках элементов орбиты, то понимаем при этом возможные отличия элементов от тех значений, которые они имеют в номинальном решении. Таким образом, областью возможных значений для каждого элемента является E_i ± 3?_i. Каждую возможную орбиту можно представить как точку шестимерного пространства, по осям которого откладываются значения элементов орбит. Рассмотрим малую окрестность некоторой точки этого пространства. Вероятность попадания орбиты в эту окрестность зависит от одновременного попадания шести элементов орбиты в соответствующие элементарные интервалы ?E_i. Мы уже видели, что при нормальном распределении ошибок эти вероятности определяются формулами типа (7.5), т. е.

где под x_i следует понимать элемент E_i, p(x_i) — плотность вероятности распределения ошибок соответствующего элемента, ?_i — корень квадратный из дисперсии ошибок (среднеквадратичная ошибка i-го элемента).

Предположим ради простоты изложения, что случайные ошибки элементов E_i и E_j попарно независимы, т. е. вероятность попадания ошибки элемента E_i в некоторый интервал не зависит от ошибки элемента E_j. В этом случае ошибки всех элементов являются независимыми в совокупности. Плотность вероятности одновременного попадания шести элементов в достаточно малую окрестность точки (E₁…, E₆) в этом случае выражается как произведение плотностей вероятностей распределения ошибок отдельных элементов:

Каждый сомножитель в правой части последней формулы определяется формулой типа (7.5). Из этого вытекает, что плотность вероятности в точке r в случае шестимерного нормального распределения при сделанном предположении определяется формулой

Указанная плотность вероятности остается неизменной во всех точках пространства, где

При любом положительном значении постоянной это выражение представляет собой уравнение эллипсоида в осях, совпадающих по направлению с главными осями эллипсоида и имеющих начало в точке (x₁₀, x₂₀, x₃₀…, x₆₀) шестимерного пространства. Если представить, что в шестимерном пространстве элементов по осям прямоугольной системы координат с началом в точке, отвечающей номинальной орбите, отложены величины ?_i и представить себе шестимерный эллипсоид с полуосями ?_i, то плотность вероятности на таком эллипсоиде будет всюду одинаковой. То же самое будет справедливо и для любого другого подобного и подобным образом расположенного эллипсоида. Такие эллипсоиды называются эллипсоидами равных плотностей вероятностей.

По аналогии с одномерным случаем можно заключить, что вероятность попадания точки внутрь некоторого эллипсоида равна интегралу

где интегрирование распространяется на все пространство, ограниченное эллипсоидом. Если полуоси эллипсоида неограниченно увеличиваются, то интеграл по всему пространству равен единице. Если представить эллипсоид с полуосями, равными 3?_i, то вероятность попадания точки в область пространства, ограниченную этим эллипсоидом, близка к единице (0,9973⁶). Такой эллипсоид будем называть доверительным.

Выше предполагалось, что ошибки элементов независимы. На самом деле они корреляционно связаны. Отражением этих связей между ошибками отдельных элементов, найденных по методу МНК, являются величины недиагональных элементов обратной матрицы Q^-1, которую называют корреляционной матрицей решения или матрицей ковариаций. Корреляционные связи могут проявляться по-разному. Примером двух элементов, находящихся в жесткой корреляционной зависимости, являются долгота узла и угловое расстояние перигелия от узла при малом наклоне орбиты. Ошибки этих величин близки по величине и противоположны по знаку.

Сделанное выше допущение о независимости случайных ошибок элементов эквивалентно допущению, что все недиагональные элементы матрицы ковариаций равны нулю. В том случае, если это допущение неверно, плотность вероятности многомерного нормального распределения будет иметь более сложный вид по сравнению с (7.7). В показателе экспоненты будет присутствовать сумма не только квадратов, но и смешанных членов вида (x_i — x_i0)(x_j — x_j0) с коэффициентами, зависящими от недиагональных элементов матрицы ковариаций (коэффициентов корреляции). Приравнивание суммы в показателе экспоненты к положительной постоянной дает уравнение эллипсоида равной плотности вероятности, но в этом случае ориентация главных осей эллипсоида не совпадает с ориентацией координатных осей. Путем поворота координатных осей уравнение эллипсоида может быть приведено к виду (7.8), в котором отсутствуют смешанные члены.

Корреляционные матрицы, определяющие погрешности элементов и корреляционные связи между ними, находят важное применение при определении погрешностей различных функций этих элементов. Этот вопрос еще будет обсуждаться в следующих параграфах.

Подводя итог, важно обратить внимание на то, что элементы истинной орбиты тела остаются неизвестными. Любая точка внутри доверительного эллипсоида представляет некоторую орбиту, совместимую с имеющимися наблюдениями. Однако вероятность того, что реальная орбита находится в малой окрестности номинального решения, является максимальной по сравнению с другими возможными решениями.

Отметим, что до сих пор мы рассматривали все наблюдения как имеющие одинаковую точность. На практике приходится определять элементы орбиты на основе рядов наблюдений, выполненных с различными точностями (имеющими различные среднеквадратичные ошибки ?₁, ?₂…, ?n). В таких случаях вводят понятие веса наблюдения, определяя его как

где ?₀ — произвольное положительное число.

Решение системы условных уравнений в таком случае ищут исходя из обобщенного принципа Лежандра: решение системы должно минимизировать взвешенную сумму квадратов остающихся невязок:

Из этого требования вытекает правило преобразования системы условных уравнений и ее решения: каждое условное уравнение должно быть умножено на корень квадратный из веса соответствующего наблюдения. После этой операции (так называемого приведения к равноточным наблюдениям) система решается так же, как в случае наблюдений, имеющих одну и ту же среднюю ошибку.