Книга: Математика космоса [Как современная наука расшифровывает Вселенную]

* * *

В противовес предыдущему на вопрос «Какой формы Вселенная?» ответить намного труднее, он вызывает много споров.

Прежде чем Эйнштейн разобрался, как включить гравитацию в его релятивистскую теорию пространства-времени, почти все были уверены, что геометрия пространства должна быть евклидовой. Одной из причин было то, что значительную часть времени между тем, когда Евклид написал свои «Начала», и тем, когда Эйнштейн осуществил радикальный пересмотр физики, евклидова геометрия считалась единственно возможной. Это убеждение было подорвано в XIX веке, когда математики открыли непротиворечивые неевклидовы геометрии, однако, несмотря на то, что внутри математики они нашли себе интересные применения, почти никто не ожидал, что они найдут себе применение и в реальном мире. Исключением из общего правила был Гаусс, который открыл неевклидову геометрию, но не стал ее обнародовать, потому что сомневался, что кто-нибудь ее примет; к тому же он всегда предпочитал избегать невежественной критики. Разумеется, геометрия на поверхности сферы не была секретом: навигаторы и астрономы использовали в своей работе хитроумную теорию сферической тригонометрии. Но в этом не было ничего особенного, поскольку сфера представляла собой всего лишь особую поверхность в обычном евклидовом пространстве. Она не была самим пространством.

Гауссу подумалось, что если геометрия не обязательно должна быть евклидовой, то и реальное окружающее нас пространство тоже не обязано быть евклидовым. Один из способов различить варианты геометрии состоит в том, чтобы сложить углы треугольника. В евклидовой геометрии вы всегда получите 180°. В одном из типов неевклидовой геометрии — в эллиптическом ее варианте — эта сумма всегда превышает 180°; в геометрии другого типа — гиперболической — она всегда меньше этой величины. Точное значение суммы при этом зависит от площади треугольника. Гаусс попытался выяснить истинную форму пространства, измерив треугольник, образованный тремя горными пиками, но не получил убедительного результата. Учитывая, что сделал с математикой Эйнштейн, опираясь на все эти открытия, можно предположить, что на его измерениях сказалось гравитационное притяжение этих гор Гаусса.

Гаусс начал размышлять о количественной оценке кривизны поверхности: можно ли измерить, насколько сильно она изгибается. До того момента поверхность традиционно рассматривалась как граница объемного объекта в евклидовом пространстве. Все не так, сказал Гаусс. Объемный объект не нужен: поверхность может существовать сама по себе. В окружающем евклидовом пространстве, кстати говоря, тоже нет необходимости. Нужно лишь нечто, что определяло бы поверхность, и на его взгляд это нечто — правило для определения расстояния, метрика. Математически метрика — это формула расстояния между любыми двумя точками, очень близкими одна к другой. Зная метрику, можно определить расстояние между любыми двумя точками. Для этого нужно протянуть между ними цепочку из очень близких соседей, определить при помощи формулы, насколько они близки друг другу, сложить все эти маленькие расстояния, а затем выбрать такую цепочку соседей, при которой результат получится минимально возможным. Эта цепочка образует так называемую геодезическую кривую, которая представляет собой кратчайшее расстояние между этими двумя точками. Эта идея привела Гаусса к элегантной, хотя и сложной, формуле для кривизны. Интересно, но в этой формуле никак не задействуется окружающее пространство. Она имеет дело только с поверхностью. Кривизна евклидова пространства равна нулю: оно плоское.

Это натолкнуло на радикальную идею: пространство может быть изогнутым и при этом не загибаться вокруг чего-то. К примеру, сфера, что очевидно, изогнута вокруг объемного шара, поверхностью которого является. Чтобы получить цилиндр, вы берете лист бумаги и сворачиваете по кругу, так что цилиндрическая поверхность изогнута вокруг объемного цилиндра, который она ограничивает. Но Гаусс отказался от такого устаревшего мышления. Он понял, что можно наблюдать кривизну поверхности, не погружая ее в евклидово пространство.

Ему нравилось объяснять это на примере муравья, живущего на поверхности и не способного покинуть ее ни для того, чтобы проникнуть внутрь, ни для того, чтобы подняться в пространство. Все, что знает муравей, — это поверхность. Даже свет заперт на поверхности, он движется вдоль геодезических кривых, — и муравей не видит, что его аналог пространства — его мир — изогнут. Однако он может догадаться о его кривизне, если проведет триангуляционную съемку. Крохотные треугольнички расскажут ему о метрике его Вселенной, а затем он сможет применить формулу Гаусса. Поползав немного по своей поверхности и поизмеряв расстояния, он сможет заключить, что его вселенная искривлена.

Такое представление о кривизне отличается в некоторых отношениях от обычного представления о ней. К примеру, скатанная в трубку газета не искривлена, хотя и выглядит как цилиндр. Чтобы понять почему, взгляните на буквы в заголовке. Мы видим, что они искривлены, но, если говорить о них по отношению к бумаге, их форма остается неизменной. Ничто не растягивается, ничто не сдвигается. Муравей не заметил бы никаких отличий на небольших участках газеты. Если говорить о метрике, газета по-прежнему плоская. На небольших участках она обладает той же геометрией, что характерна для плоскости. Так, углы небольшого треугольника дадут в сумме 180°, если вы измерите их в пределах бумаги. Идеальным инструментом для этого может послужить несжимаемый гибкий транспортир.

Плоская метрика имеет смысл — если, конечно, к ней привыкнуть, — потому что именно благодаря ей вы можете скатать газету в цилиндр. Все расстояния и углы, измеренные в пределах бумаги, останутся прежними. Обитающий на газете муравей не в состоянии локально отличить скатанную в цилиндр газету от плоского листа.

Другое дело — глобальная, или общая, форма. У цилиндра не такие геодезические линии, как у плоскости. Все геодезические линии плоскости представляют собой прямые, которые уходят в бесконечность и никогда не замыкаются. На цилиндре некоторые геодезические линии могут быть замкнутыми, они обходят цилиндр вокруг и возвращаются в ту же начальную точку. Представьте себе резинку, которой можно обхватить свернутую в рулон газету. Эта резиновая полоска образует замкнутую геодезическую кривую. Такого рода глобальная разница в форме относится к общей топологии — к тому, как кусочки поверхности складываются вместе. А метрика говорит нам только о кусочках.

Древние цивилизации находились, по существу, в положении того муравья. Люди тогда не могли подняться в воздух на воздушном шаре или аэроплане, чтобы увидеть сверху форму Земли. Но они могли провести измерения и попробовать вывести из них размеры и топологию. У них, в отличие от муравья, были и кое-какие внешние помощники: Солнце, Луна и звезды. Но когда речь заходит о форме всей Вселенной, мы оказываемся в точности в положении муравья. Чтобы определить форму Вселенной изнутри, нам приходится использовать аналогии с геометрическими упражнениями муравья.

С точки зрения муравья, поверхность имеет два измерения. Это значит, что для составления карты любого участка местности достаточно двух координат. Если не брать во внимание небольшие изменения высоты, земным навигаторам достаточно только широты и долготы, чтобы узнать, где они находятся на земной поверхности. У Гаусса был блестящий ученик по имени Бернхард Риман, и он — с подачи наставника — решил обобщить формулу Гаусса для кривизны на «поверхности» с произвольным числом измерений. Поскольку на самом деле это уже не поверхности, для их обозначения Риману потребовался новый термин, и он выбрал немецкое слово Mannigfaltigkeit, что переводится как «многообразие» в смысле множества координат.

Другие математики, среди них несколько итальянцев, заразились многомерными поверхностями и создали новую область математики: дифференциальную геометрию. Именно им принадлежит большая часть базовых идей о многомерных поверхностях. Но все эти идеи они рассматривали с чисто математической точки зрения. Никто не подозревал, что дифференциальная геометрия может быть применима к реальному пространству.