Книга: Ритм Вселенной. Как из хаоса возникает порядок

Глава 2. Мозговые волны и условия синхронизма

Глава 2. Мозговые волны и условия синхронизма

Норберт Винер никогда не был знаменитостью в полном смысле этого слова. Но когда в 1950-е годы была опубликована его книга «Кибернетика», она вызвала большие волнения среди читающей публики. Обозреватель газеты New York Times назвал эту книгу «основополагающей и сопоставимой по своей важности с трудами Галилея, Мальтуса, Руссо или Милля». Винер предложил единый подход к осмыслению проблем связи и управления, будь то системы нервных клеток или общества, животные или машины, компьютеры или люди[34]. В большей степени это было похоже на мечту, чем на законченную теорию, а выводы, сделанные Винером, были несколько скоропалительными и преждевременными. Сегодня никто не сказал бы, что его специальностью является кибернетика, однако первая половина слова «кибернетика» продолжает свою жизнь в качестве модного префикса в таких, например, словах, как «киберпространство» и «киберпанк».

Однако в научном мире имя Норберта Винера никогда не будет забыто по причинам как серьезным, так и не очень серьезным[35]. Что касается серьезных причин, то имя Норберта Винера увековечено в математической терминологии: винеровский процесс, теорема Пэли-Винера, метод Винера-Хопфа и т. д. Бывший вундеркинд, который в восемнадцать лет защитил диссертацию в Гарвардском университете, Норберт Винер совершил революцию в теории случайных процессов. Выполненный им анализ броуновского движения, хаотических перемещений молекул в растворе, оказался значительным шагом вперед по сравнению с интуитивным подходом Альберта Эйнштейна к решению той же проблемы, а предложенные им методы заложили фундамент для последующих работ Ричарда Фейнмана по квантовой электродинамике, а также для работ в области финансов, выполненных будущими лауреатами Нобелевской премии Фишером Блэком и Майроном Скоулзом.

Что же касается менее серьезной стороны, то математики любят пересказывать друг другу разные истории о Винере. Невысокого роста, похожий на колобка, всегда в очках с толстыми линзами и с неизменной сигарой в зубах, Винер обожал разъезжать по коридорам Массачусетского технологического института на своем уницикле – одноколесном велосипеде. Даже в профессии, обладатели которой не могут похвастаться своей любовью к спорту или здравому смыслу, Винер выделялся из общей массы. Когда ему не удалось нормально принять ни одной из многочисленных подач от своего партнера по теннисной партии, Винер предложил тому поменяться ракетками. Винер славился своей рассеянностью. Когда он вместе со своей семьей переезжал из Кембриджа в Ньютон (их новое место жительства), его жена выписала на листке бумаги их новый адрес и подробнейшим образом описала, как туда добраться из его офиса (она была уверена, что Норберт забудет об их переезде). Так и случилось. Винер использовал этот листок бумаги в качестве черновика для каких-то вычислений, выбросил его в корзину для мусора и по окончании работы вернулся в свой старый дом. Прибыв туда, он понял, что уже не проживает там, остановил на улице маленькую девочку и спросил, не знает ли она, куда переехало семейство Винеров. Она сказала: «Конечно, дедушка, знаю. Пойдем со мной».

Винер является одной из центральных фигур в науке о синхронизме. Частично это объясняется тем, что именно он сформулировал вопрос, который не отваживался поставить никто из ученых до него. До Винера математики довольствовались изучением систем лишь с двумя связанными осцилляторами. Винер взялся за изучение систем, включающих в себя миллионы осцилляторов. Еще более важным является, наверное, то обстоятельство, что Винер первым указал на повсеместность синхронизма во Вселенной. Стрекочущие сверчки, квакающие лягушки, мерцающие светлячки, интервалы в поясе астероидов, генераторы в энергосистеме – во всех этих системах Винер обнаружил синхронизм. Поверхностные различия не ввели его в заблуждение. Его интересовали глобальные принципы. Он полагал, что выявил один из таких принципов, когда размышлял над происхождением мозговых волн у человека.

В конце 1950-х годов никто не понимал, зачем мозг вообще излучает волны. Но несколькими десятилетиями ранее физиологи обнаружили, что если к разным точкам кожи на черепе человека подсоединить электроды, на электродах появляется очень небольшое напряжение, причем это напряжение изменяется во времени. После того как инженерам удалось разработать весьма чувствительные электронные усилители, появилась возможность автоматически представить эти микроскопические флуктуации напряжения, или «мозговые волны», в графическом виде на бумажной ленте. Устройство, использующееся для регистрации мозговых волн, называется электроэнцефалографом. (Такая же технология используется в тестах на детекторе лжи и для контроля работы сердца и должна быть знакома каждому, кто смотрел по телевизору репортажи из больниц.)

Специалисты по измерению мозговых волн (то есть по расшифровке электроэнцефалограмм) умеют распознавать в этих записях мозговой деятельности характерные картины. Одна картина, так называемый альфа-ритм, наблюдается у людей, которые бодрствуют, но пребывают в расслабленном состоянии, а их глаза закрыты[36]. Субъективно это ощущается как приятное состояние «отключения» от внешнего мира. На электроэнцефалограмме это выглядит как ярко выраженная осцилляция с частотой примерно 10 циклов в секунду.

Винер хотел изучить альфа-ритм гораздо подробнее, поскольку у него были кое-какие соображения по поводу того, какой может быть функция альфа-ритма. Винер полагал, что альфа-ритм является отражением работы некого задающего (или тактового) генератора, встроенного в мозг человека. Компьютеру необходим тактовый генератор, чтобы синхронизировать сигналы, которыми обмениваются между собой тысячи компонентов машины. Винер предположил, что мозг мог бы поступать аналогично и координировать миллиарды нейронов, заставляя их действовать в ритме, задаваемом неким «барабанщиком». Очевидно, отдельно взятые нейроны не могли выполнять такую функцию, поскольку были известны как слишком неточные осцилляторы, неспособные исполнять роль надежного тактового генератора. Винер выдвинул гипотезу, что мозг весьма изобретательно формирует точный тактовый генератор на основе огромного количества неточных тактовых генераторов. Он предположил, что в каком-то месте мозга могут быть сосредоточены миллионы специализированных осцилляторов, которые, возможно, являются отдельными нейронами или небольшими кластерами нейронов, причем все они разряжаются с частотой примерно 10 раз в секунду. Подобно любой другой биологической популяции, эти осцилляторы, несомненно, не идентичны: некоторые из них изначально действуют быстрее других, срабатывая 12 раз в секунду, тогда как другие, напротив, действуют медленнее, срабатывая лишь 8 раз в секунду; при этом большинство осцилляторов работают на частоте, близкой к средней, то есть к 10 циклам в секунду. Предоставленная сама себе, эта разнородная совокупность нейронных осцилляторов выдает импульсы с разными частотами, создавая электрическую какофонию, подобную звучанию оркестра во время настройки инструментов перед началом представления. Чтобы работать вместе как единый и слаженный часовой механизм, эти гипотетические осцилляторы должны координировать свои действия, чувствовать электрические ритмы друг друга и реагировать на них соответствующим образом.

Идея Винера заключалась в том, что эти осцилляторы должны самопроизвольно синхронизироваться, подстраивая частоты друг друга. Если какой-то осциллятор работает слишком быстро, остальные осцилляторы в соответствующей группе должны замедлить его; если же какой-то осциллятор работает слишком медленно, остальные осцилляторы должны ускорить его работу.

Чтобы проверить, работает ли в действительности этот механизм «подтягивания» частот, Винер предложил отыскать характерные «отпечатки», которые он должен оставлять на альфа-ритме. В этом случае нам на помощь может прийти аналогия с политикой. Естественные частоты осцилляторов можно представлять себе как спектр политических взглядов в гипотетическом обществе. Крайне левые радикалы соответствуют крошечной совокупности осцилляторов, которые предпочитают работать на частоте, скажем, 8 циклов в секунду. Продвигаясь постепенно по нашему спектру вправо, мы встретим более многочисленную субпопуляцию либералов, работающих на частоте 9 циклов в секунду, доминирующее ядро центристов, работающих на частоте 10 циклов в секунду, затем натолкнемся на менее многочисленную группу консерваторов, работающих на частоте 11 циклов в секунду, и наконец – лишь небольшую горстку крайне правых радикалов, работающих на частоте 12 циклов в секунду. Положим для простоты, что диаграмма количества людей в каждой из перечисленных категорий представляет собой хорошо знакомую нам колоколообразную кривую, в которой доминирует мощный центр, и симметрично сходящую на нет по мере продвижения в правую или левую сторону от центра.

Имейте в виду, что такая картина отражает лишь тенденции, внутренне присущие системе политических взглядов. Это политические взгляды, которых придерживались бы люди (или частоты, на которых работали бы осцилляторы), если бы они были полностью изолированы от влияния других.

А теперь предоставим возможность отдельным индивидуумам влиять друг на друга; допустим также (хотя политики лишь в редких случаях действуют подобным образом), что эти осцилляторы могут изменять свои частоты. В результате уговоров со стороны других осцилляторов медленный осциллятор можно убедить работать быстрее, а быстрый осциллятор можно убедить работать медленнее. Затем, если измерить весь этот спектр, окажется, что он уже не похож на колоколообразную кривую. Винер предположил, что он выглядел бы примерно так:

Чтобы уяснить специфическую форму этого графика, вспомним, что большинство осцилляторов поначалу работало вблизи середины колоколообразной кривой. Воздействуя на частоты друг друга, многие из них сместились в абсолютный центр, образовав мощный мейнстримный консенсус (высокий и узкий пик). Их совместное влияние на остальную популяцию оказалось достаточно сильным для того, чтобы оттащить ряд «умеренных» от левого и правого крыльев (еще больше увеличив высоту пика и понизив кривую на собственых позициях «умеренных», что привело к появлению «провисаний» по обе стороны от пика). Тем не менее достигнутый консенсус не был настолько убедительным, чтобы вытеснить большинство упрямых экстремистов на краях спектра (изображенных в виде плечей на обоих концах спектра).

Винер прогнозировал, что альфа-ритм продемонстрирует точно такой же специфический пик и двойное «проседание» в своем спектре частот. В таком случае это могло бы стать убедительным свидетельством идеи Винера о том, что причиной альфа-ритма является синхронизация между осцилляторами с разными естественными частотами. Чтобы удостовериться в своей правоте, Винеру нужно было придумать способ, с помощью которого он мог бы измерить такой спектр с небывалой точностью. В данном случае Винер намеревался использовать экспериментальный метод, который несколькими годами ранее изобрел его сотрудник Уолтер Розенблит, инженер по электротехнике из Массачусетского технологического института. Розенблит придумал способ, с помощью которого мозговые волны можно регистрировать на магнитной ленте, а не на бумаге; это означало, что полученные таким образом данные можно обработать электронным способом, выполнив первый в мире количественный анализ спектра мозговых волн. Все предшествующие работы носили качественный характер: они основывались на распознавании образов, субъективных суждениях специалистов, умеющих выявлять определенные картины, анализируя электроэнцефалограммы. Пользуясь методом, предложенным Розенблитом, соответствующие вычисления можно было автоматизировать, а процесс анализа сделать вполне объективным.

О полученных таким образом результатах Винер объявил в своей монографии, написанной в 1958 г., хотя его презентация носила подозрительно отрывочный, эскизный характер. Вместо того чтобы опубликовать фактические данные (как полагалось сделать согласно критериям, принятым в научном мире – если ученый собирался обнародовать данные, подтверждающие выдвинутую им гипотезу), он сделал приблизительный набросок измеренного спектра[37] – что-то наподобие графика, представленного выше на моем рисунке. Такие результаты показались слишком банальными и чересчур уж «правильными», чтобы быть похожими на правду. Складывалось впечатление, будто Винер что-то скрывает.

Однако его статья вовсе не заслуживала недоверия. Он утверждал, что «подтягивание» частот является универсальным механизмом самоорганизации, касающимся не только осцилляторов в мозге, но буквально всего в природе – как в живой, так и в неживой. Он настойчиво призывал биологов проводить эксперименты на лягушках, сверчках и даже на светлячках Юго-Восточной Азии задолго до появления в научной литературе статей об их синхронном мерцании. В 1961 г. он писал: «Не отваживаясь высказываться по поводу возможного исхода экспериментов, которые еще не проводились, я все же полагаю, что это направление исследований является весьма многообещающим и не слишком сложным»[38].

Его следующей задачей была разработка подробной теории «подтягивания» частот.

К сожалению, когда он попытался подкрепить свои догадки строгими математическими доказательствами, он столкнулся с непреодолимыми трудностями. Он представил ряд грубых рассчетов, но они выглядели весьма неуклюже и вели в никуда. Винер умер в 1964 г., так и не решив одну из важнейших для себя задач. Годом позже одному из студентов удастся найти правильный подход к ее решению.

В то время Арт Уинфри был старшим научным сотрудником в Корнельском университете и занимался технической физикой. Он давно мечтал стать биологом, однако вместо того чтобы идти к своей цели проторенным путем, он решил основательно пополнить багаж своих знаний по математике и физике, надеясь освоить новый для себя инструментарий. Электроника и компьютеры, квантовая механика и дифференциальные уравнения – этими инструментами биологи в то время, как правило, не пользовались.

Когда Уинфри размышлял над проблемой группового синхронизма, он думал о самих осцилляторах, а не просто об их частотах[39]. В этом отношении его концептуализация данной проблемы была гораздо более подробно разработанной, чем у Винера. Он не просто характеризовал каждый осциллятор частотой, на которой тот работает (его местоположением на политическом спектре, если вернуться к нашей предыдущей аналогии), а изображал его работу шаг за шагом, на протяжении всего цикла, что является, в конце концов, самым существенным для каждоно осциллятора. Это сразу же привело к сложностям, которые заставили бы опустить руки любого другого – только не Уинфри[40]. Преимущество молодости в том и состоит, что в эту пору жизни для вас нет почти ничего невозможного.

Свою модель он совершенно сознательно сделал приблизительной. Он намеревался сделать ее достаточно общей, чтобы ее можно было применить к любой популяции биологических осцилляторов. Единственым способом охватить одной моделью типичные характеристики стрекочущих сверчков, мерцающих светлячков, пульсирующих нейронов, задающих ритм, и тому подобных объектов было не обращать внимания на все их биохимические различия, а вместо этого сосредоточиться исключительно на двух вещах, типичных для всех биологических осцилляторов: их способности отправлять и принимать сигналы.

Запутанность этой проблемы обусловлена тем, что оба указанных свойства изменяются в течение цикла осциллятора: влияние и чувствительность являются функциями фазы. Например, цикл светлячка состоит из внезапной вспышки, затем следует интервал темноты (пока светлячок перезаряжает орган, который обеспечивает свечение), затем следует очередная вспышка и т. д. Эксперименты показали, что светлячки на приемном конце замечают вспышку другого светлячка, но игнорируют темноту. Поэтому в математическом описании, предложенном Уинфри, «функция влияния» должна изменяться в промежутке между двумя уровнями: высоким во время вспышки и близким к нулю во время темноты. Аналогично «функция чувствительности» показывает, как осциллятор реагирует на принимаемые им сигналы. Увидев вспышку в течение одной части своего цикла, светлячок может ускорить работу своего внутреннего таймера. Увидев точно такую же вспышку в течение какой-либо другой части цикла, светлячок может замедлить работу своего внутреннего таймера или вообще не влиять на его работу. Чтобы полностью охарактиризовать любой осциллятор в своей модели, Уинфри было достаточно использовать эти две функции. Выбрав эти две функции, можно было определить поведение осциллятора и как отправителя, и как получателя сигналов.

Чтобы сделать эти идеи как можно более конкретными, представим осциллятор в виде бегуна трусцой, бегущего по круговой дорожке стадиона. Разные места на этой дорожке представляют разные фазы цикла биологической активности осциллятора. Если дорожка представляет, например, менструальный цикл, то одна из ее точек соответствовала бы овуляции. Другая, соответствующая примерно половине длины дорожки, соответствовала бы менструации, а места между этими двумя точками соответствовали бы промежуточным гормональным событиям. После совершения одного круга бегун снова вернулся бы в точку овуляции. Или, если такая дорожка должна представлять ритм мерцания светлячка, разные ее места означали бы свечение как таковое, сопровождаемое разными стадиями биохимического восстановления, в ходе которого орган, отвечающий за свечение этого насекомого, перезаряжается и готовится к своему очередному свечению.

Если следовать подобной логике, то два связанных осциллятора будут похожи на двух бегунов, которые во время бега постоянно обмениваются между собой командами. Что именно они кричат друг другу и насколько громко они произносят эти слова, определяется их текущими местоположениями на дорожке: эта информация заключена в функции влияния, предложенной Уинфри. Если, например, величина функции влияния одного бегуна в данный момент мала и положительна, он кричит другому бегуну: «Беги, пожалуйста, немного быстрее». С другой стороны, высокое отрицательное значение функции влияния означает: «Ты бежишь слишком быстро. Помедленнее, пожалуйста!» А нулевое значение функции влияния вообще ничего не означает для партнера. С течением времени оба бегуна продолжают свой бег по дорожке, поэтому выкрикиваемые ими команды продолжают меняться от момента к моменту.

Такая картина носит слишком общий характер. Она может учитывать импульсные взаимодействия, используемые светлячками, сверчками и нейронами (аналогично внезапному крику, за которым следует молчание в течение остальной части цикла), или постоянное подталкивание и подтягивание феромонов, обнаруженное Макклинток и Стерном для менструального цикла (постоянно меняющаяся последовательность требований ускориться или замедлиться).

Между тем оба бегуна и прислушиваются к командам своего партнера, и выкрикивают их. Как именно они реагируют на поступающее сообщение, определяется другой функцией Уинфри – функцией чувствительности, которая также бывает разной в разных местах дорожки. Когда чувствительность оказывается высокой и положительной, бегун демонстрирует покладистость и выполняет любые инструкции, которые поступают ему в данный момент. Если же чувствительность равна нулю, он не обращает внимания на эти инструкции. А если чувствительность отрицательна, бегун поступает вопреки принимаемым им инструкциям: он ускоряется, когда от него требуют замедлиться, и наоборот. В данном случае модель также носит слишком общий характер, как и модель Пескина, которую мы обсуждали в предыдущей главе (она предполагала, что осцилляторы всегда продвигаются вперед, когда их подталкивает импульс). В модели Уинфри фазу осциллятора можно либо продвинуть вперед, либо задержать в зависимости от того, на каком этапе своего цикла этот осциллятор принял импульс. Эксперименты показали, что именно так ведут себя реальные биологические осцилляторы.

Для большей простоты Уинфри предположил, что все осцилляторы в данной популяции имеют одинаковые функции влияния и чувствительности. Но он допустил возможность разнообразия так же, как сделал до него Винер: он предположил, что естественные частоты осцилляторов распределены по всей популяции в соответствии с колоколообразной кривой. Если продолжить нашу аналогию с бегунами на дорожке стадиона, то такую популяцию осцилляторов следовало бы представить в виде клуба любителей бега трусцой, тысячи членов которого вышли одновременно на беговую дорожку. Большинство этих бегунов бегут с некой средней скоростью, но в клубе есть несколько очень быстрых ребят, которые еще в школьные годы блистали на беговой дорожке, и некоторое число «тюфяков», которые после многих лет, в течение которых они вели малоподвижный образ жизни, пытаются восстановить свою былую форму. Другими словами, мы имеем дело с неким распределением естественных способностей членов клуба бегунов точно так же, как мы имеем дело с неким распределением естественных частот осцилляторов в данной биологической популяции.

Будто перечисленных выше сложностей оказалось недостаточно, нам необходимо определить еще один, последний аспект этой модели: связи между осцилляторами. Уинфри пришлось сделать предположение относительно того, кто кому кричит и кто кого слушает. Здесь наблюдается довольно широкий разброс – все зависит от того, какой биологический пример мы имеем в виду. Возьмем, к примеру, циркадные (околосуточные) ритмы. В этом случае Уинфри предположил возможность существования «стыковочных» клеток, рассредоточенных по всему телу; каждая из таких клеток в ходе суточного цикла выделяет в кровоток определенные химические вещества. Каждая клетка организма омывается смесью выделений всех остальных клеток; по сути, каждая клетка взаимодействует со всеми другими клетками. С другой стороны, сверчки уделяют наибольшее внимание сигналам, поступающим от их непосредственных соседей. А в случае осциллирующих нейронов в мозге такой клубок взаимосвязей оказался невероятно сложным.

Признав, что решить проблему связи между осцилляторами было бы невероятно трудно, Уинфри попытался уклониться от вопросов связи и решить простейший вариант этой задачи[41]. Что произойдет, размышлял он, если каждый осциллятор подвергается одинаковому воздействию со стороны всех остальных осцилляторов? Это было похоже на то, как если бы каждый бегун одинаково реагировал на крики всех остальных бегунов, а не только на крики тех, кто бежит рядом с ним. Или, если воспользоваться более реалистичной аналогией, представьте, что вы сидите в переполненном зрительном зале по завершении восхитительного концерта. Если зрители начнут аплодировать в унисон, вас увлечет оглушительный ритм хлопков всего зала, а не пары, сидящей рядом с вами.

Уинфри составил уравнения для своей системы осцилляторов, описывающие, как быстро каждый из этих осцилляторов будет проходить свой цикл. В любом случае скорость осциллятора определяется тремя факторами: предпочтительным для него темпом, который пропорционален его естественной частоте; его текущей чувствительностью к любым внешним воздействиям (которая зависит от того, в какой точке своего цикла он находится в данный момент); и совокупным влиянием, оказываемым всеми остальными осцилляторами (которое зависит от того, в какой точке своего цикла находятся все эти осцилляторы). Это поистине колоссальный объем «математической бухгалтерии», но, в принципе, поведение такой системы в целом на протяжении всего времени определяется текущими местоположениями всех осцилляторов. Иными словами, полное знание текущего момента позволяет полностью предсказать будущее – по крайней мере в принципе.

Соответствующее вычисление осуществляется методически. Зная текущие местоположения всех осцилляторов, мы можем с помощью уравнений Уинфри вычислить их мгновенные скорости. Эти скорости говорят нам о том, как далеко каждый из осцилляторов продвинется на следующем этапе. (Мы исходим из того, что этап представляет собой очень короткий интервал времени и что в течение этого времени все осцилляторы продвигаются неуклонно. В этом случае расстояние, преодолеваемое каждым осциллятором за время цикла, равняется его скорости, умноженной на время цикла.) Таким образом, все осцилляторы могут теперь продвинуться к своим новым фазам, а указанное вычисление повторяется снова и снова, каждый раз продвигаясь вперед на один этап. Если итерации этого процесса выполнять достаточно долго, то, по крайней мере концептуально, мы увидим, какая судьба ожидает эту совокупность осцилляторов.

То, что я только что описал, называется системой дифференциальных уравнений. С такими уравнениями нам приходится иметь дело каждый раз, когда правила для скоростей зависят от текущих положений. Задачи, подобные этой, изучаются еще со времен Исаака Ньютона (поначалу в связи с движением планет в Солнечной системе). В этом случае каждая планета притягивает все другие планеты, изменяя их местоположения, что, в свою очередь, изменяет гравитационные силы, действующие между ними, и т. д. – зеркальное отражение, во многом похожее на осцилляторы Уинфри с их постоянно изменяющимися фазами, а также с их силами воздействия и чувствительностью. Ньютон изобрел дифференциальное исчисление именно для решения сложных проблем, подобных рассматриваемой нами. Являясь автором одного из величайших достижений западной науки, он решил так называемую «задачу о двух телах» и доказал, что орбита Земли вокруг Солнца является эллиптической, как было предсказано Кеплером до него. Интересно, однако, что «задача о трех телах» оказалась совершенно неподъемной. На протяжении двух столетий лучшие математики и физики мира пытались найти формулы, описывающие движение трех притягивающих друг друга планет, но лишь в конце XIX века французский математик Анри Пуанкаре доказал тщетность таких попыток: таких формул нет и быть не может.

С тех пор мы осознали, что большинство систем дифференциальных уравнений не имеет решения в том же самом смысле: невозможно найти формулу, которая позволяла бы получить ответ. Однако существует одно замечательное исключение: для линейных дифференциальных уравнений есть решение. Технический смысл слова линейные на данном этапе не должен интересовать нас; гораздо важнее для нас то обстоятельство, что линейные уравнения модульны по своей природе. То есть большую и запутанную линейную задачу всегда можно разделить на меньшие и более обозримые части. Каждую такую часть можно решить по отдельности, а полученные таким образом «маленькие ответы» можно воссоединить для решения более крупной задачи. Поэтому утверждение о том, что в линейной задаче целое равняется в точности сумме его частей, вообще говоря, верно.

Проблема, однако, в том, что линейным системам присуще лишь весьма примитивное поведение. Распространение инфекционных заболеваний, сильная когерентность лазерного луча, взбаламученное движение турбулентной жидкости – все эти явления описываются нелинейными уравнениями[42]. Когда целое отличается от суммы его составных частей (когда имеет место сотрудничество или конкуренция), уравнения, описывающие соответствующие явления, должны быть нелинейны.

Таким образом, вряд ли приходится удивляться тому, что когда Уинфри взглянул на свои дифференциальные уравнения для биологических осцилляторов, он увидел, что они нелинейны. Все линейные методы, о которых ему рассказывали на лекциях по физике и прикладным дисциплинам, в данном случае были неприменимы: он никогда не сможет найти формулы для решения этой задачи. Что же касается нелинейных методов, то те немногие, которые имелись в его распоряжении, были пригодны лишь для очень небольших систем, таких как отдельно взятый осциллятор или два связанных осциллятора. Для задачи, решение которой он пытался найти (динамика популяции, насчитывающей тысячи нелинейных осцилляторов, взаимодействующих между собой), нужно было придумать особый подход.

Чтобы имитировать работу своей модели, Уинфри использовал компьютер. То есть вместо использования чисто математического аппарата ему предстояло провести что-то наподобие эксперимента. Компьютер должен был отслеживать поведение осцилляторов по мере прохождения ими цикла за циклом с их переменными скоростями. Машине было все равно, о каких объектах – линейных или нелинейных – идет речь. От нее лишь требовалось постепенно, шаг за шагом, продвигаться вперед, обеспечивая достаточно надежную аппроксимацию истинного поведения модели, предложенной Уинфри. Уинфри надеялся, что полученные результаты подскажут ему, как должны вести себя осцилляторы. По крайней мере он мог бы увидеть, что должно происходить, даже если ему было не вполне понятно, почему это происходит именно так, а не иначе.

Вообще говоря, легко понять один ограниченный случай. Если осцилляторы полностью игнорируют друг друга, они распределяются по всей круговой дорожке, поскольку каждый из них «бежит» с предпочтительной для себя скоростью, а остальные осцилляторы не влияют на него. Более быстрые осцилляторы перегоняют более медленные осцилляторы и со временем обгоняют их на целый круг. На достаточно продолжительном отрезке времени осцилляторы будут распределены по всей дорожке. Говорят, что такая система некогерентна. Это похоже на то, как аплодируют зрители на концертах в Америке. Каждый из американских зрителей аплодирует сам по себе, не обращая внимания на соседей, – в том ритме, который подходит именно для него. В совокупности это похоже на устойчивый аритмичный шум.

Эксперименты с имитацией, проводившиеся Уинфри, зачастую приносили результаты, напоминающие именно этот вид некогерентности, даже когда осцилляторам предоставлялась возможность влиять друг на друга. При разных сочетаниях функций чувствительности и влияния популяция активно противодействовала синхронизации. Даже если все осцилляторы начинали работу строго синфазно, они нарушали согласованность своих действий и дезорганизовывались. Эта популяция настаивала на анархии.

Но в случае других пар функций чувствительности и влияния Уинфри обнаружил, что эта популяция самопроизвольно синхронизируется. Какими бы ни были начальные фазы осцилляторов, некоторые из них всегда слипались в прочный ком и бежали круг за кругом дружной компанией. В этом случае популяция вела себя подобно восточноевропейской зрительской аудитории, которая совершает синхронные хлопки без каких-либо видимых подсказок.

В подобных случаях синхронизация наступала в результате «сотрудничества» осцилляторов. Как только несколько осцилляторов входили в синхронизм (возможно, по чистой случайности), их совместные, когерентные «выкрики» начинали выделяться на фоне остального шума и оказывать более сильное влияние на все остальные осцилляторы. Это ядро начинало вербовать в свои ряды другие осцилляторы, в результате чего оно разрасталось и усиливало свой сигнал. Результирующий процесс положительной обратной связи приводил к самопроизвольному, все более ускоряющемуся процессу синхронизации, в ходе которого многие осцилляторы стремились присоединиться к формирующемуся консенсусу. Тем не менее некоторые осцилляторы оставались несинхронизированными, поскольку их естественные частоты слишком выбивались из общего ряда, чтобы их можно было вовлечь в процесс установления синхронизма. В конечном счете популяция разделялась на синхронизированную совокупность и дезорганизованную группу осцилляторов-экстремистов.

Когда в такой системе происходила самосинхронизация, Уинфри обнаруживал, что ни один из осцилляторов нельзя было обозначить как абсолютно необходимый. Иными словами, среди них не было «самого большого начальника». Любой осциллятор можно было убрать из такой системы, и это не повлияло бы на конечный результат. Кроме того, совокупность синхронно работающих осцилляторов вовсе не обязательно работала со скоростью самого быстрого из них. В зависимости от выбора функций воздействия и чувствительности эта совокупность могла действовать в ритме, ближайшем к средней скорости членов этой совокупности, или могла действовать быстрее или медленнее, чем любой из ее членов. Все это выглядело весьма парадоксально. Групповая синхронизация не носила иерархического характера, но она не всегда носила и чисто демократический характер.

Самое важное открытие Уинфри стало результатом странного и по-настоящему оригинального мысленного эксперимента. Вместо того чтобы рассматривать отдельно взятую популяцию осцилляторов, характеризующуюся одной колоколообразной кривой естественных частот, он рассмотрел целое семейство таких популяций, каждая из которых является более однородной, чем предыдущая. Если вернуться к нашей аналогии с бегунами, представьте себе множество разных клубов любителей бега трусцой.

Первый из них чрезвычайно разнороден по своему составу: члены этого клуба весьма отличаются друг от друга по уровню своей физической подготовки. Уинфри пришел к выводу, что такой клуб никогда не достигнет синхронизма. Его члены не смогут бежать в общем для всех темпе, даже если их функции влияния и чувствительности предрасполагают бегунов к такому синхронизму. В конечном счете их способность громко кричать и хорошо слышать крики других не принесет нужного результата: разнородность этой группы возьмет верх над их взаимным желанием бежать в общем для всех темпе и разбросает их по всей длине беговой дорожки, как если бы они не обращали внимания друг на друга и каждый из них бежал в предпочтительном для себя темпе.

Теперь рассмотрим несколько более однородный клуб бегунов. Его члены характеризуются одинаковыми функциями влияния и чувствительности, но их физические способности укладываются в более узкую и высокую колоколообразную кривую (это означает, что большее количество бегунов обладают средними физическими способностями, тогда как количества «слабаков» и хороших бегунов оказываются относительно небольшими). На первый взгляд может показаться, что у такого клуба больше шансов на достижение синхронизма – по крайней мере частичного, – но Уинфри обнаружил обратный эффект. Рассматривая все более однородные популяции осцилляторов, синхронизм не удавалось выявить до достижения некой критической точки: порога разнородности. Затем, внезапно, некоторые из осцилляторов самопроизвольно синхронизировали свои частоты и начинали действовать слаженно. После того как Уинфри обеспечил еще более узкое распределение, к синхронизированной группе подключалось все большее и большее число осцилляторов.

Создавая это описание, Уинфри обнаружил неожиданную связь между биологией и физикой. Он понял, что взаимная синхронизация аналогична фазовому переходу – например, когда вода, замерзая, превращается в лед. Задумайтесь над тем, насколько удивительно явление замерзания воды. Когда температура лишь на один градус превышает точку замерзания воды, молекулы воды движутся свободно, соударяясь друг с другом и разлетаясь в стороны. При такой температуре вода представляет собой жидкость. Но давайте охладим ее чуть ниже точки замерзания. Внезапно, словно по мановению волшебной палочки, рождается новая форма материи. Триллионы молекул самопроизвольно формируют некую структуру, создавая жесткую пространственную решетку – твердый кристалл, который мы называем льдом. Аналогично, переход к синхронизму наступает резко (не постепенно), когда ширина колоколообразной кривой распределения частот оказывается меньше некоторого критического значения. Если провести аналогию с температурой, то ширина кривой распределения частот подобна температуре, а осцилляторы похожи на молекулы воды. Основное различие заключается в том, что когда осцилляторы «замораживаются» в синхронизм, они «работают» во времени, а не в пространстве. Выявление этого концептуального переключателя было творческой составляющей аналогии, использованной Уинфри.

Сделав это открытие, Уинфри выявил связь между двумя огромными корпусами знания, которые в прошлом лишь в редких случаях обращали внимание друг на друга. Одним из них является нелинейная динамика – наука о сложных путях, по которым происходит эволюция систем во времени; другим является статистическая механика – отрасль физики, которая изучает коллективное поведение гигантских систем атомов, молекул или других простых элементов. Тот и другой корпусы знания обладали достоинствами, которые компенсировали слабости другого. Нелинейная динамика хорошо подходила для малых систем с небольшим количеством переменных, но не могла справиться с большими совокупностями частиц, которые не составляли никакой проблемы для статистической механики. С другой стороны, статистическая механика хорошо подходила для анализа систем, пришедших в состояние равновесия, но не могла справиться со скачками колебательных процессов и всего остального, что изменяется во времени.

Уинфри удалось проложить путь к некой гибридной теории, которая обещала стать гораздо более мощной, чем нелинейная динамика и статистическая механика по отдельности. Это обещало стать важным шагом в развитии науки, который в конечном счете помог бы разрешить загадки спонтанного формирования порядка во времени и в пространстве. А на более практическом уровне это означало, что аналитические методы статистической физики могли теперь дать ответ на вопрос о том, как клеткам мозга, светлячкам и прочим объектам живой материи удается синхронизировать друг друга.

Спустя несколько лет о работе Уинфри стало известно молодому японскому физику по имени Йосики Курамото. Его также увлекал феномен самоорганизации во времени, и он хотел найти способ проникнуть в математическую суть этого феномена. В 1975 г. он сосредоточился на изучении более простой и абстрактной версии модели Уинфри и в конечном счете ему удалось показать, как можно решить эту задачу.

Это было поистине выдающееся достижение. Речь шла о системе бесконечно большого числа дифференциальных уравнений, причем все эти дифференциальные уравнения были нелинейными и связаны друг с другом. Такие вещи практически не поддаются решению. Немногие исключения из этого правила подобны бриллиантам. Такое сравнение представляется вполне оправданным ввиду математической красоты этих исключений, а также благодаря свету, который они проливают на внутренние аспекты нелинейности. В данном случае анализ, выполненный Курамото, выявил сущность групповой синхронизации.

На первый взгляд не так-то просто понять, что же такого особенного в структуре модели, предложенной Курамото. Как и в работе Винера, модель Курамото описывает огромную популяцию осцилляторов, характеризующуюся колоколообразной кривой распределения естественных частот; как и в модели Уинфри, каждый осциллятор одинаково взаимодействует со всеми остальными осцилляторами[43]. Важнейшая инновация, предложенная Курамото, заключается в замене функций влияния и чувствительности на особый вид взаимодействия – очень симметричное правило, которое воплощает и уточняет концепцию подтягивания частот, предложенную Уинфри.

Природу этого взаимодействия легче всего понять для популяции, состоящей лишь из двух осцилляторов. Вообразите их как друзей, бегущих вместе по дорожке стадиона. Поскольку эти осцилляторы – друзья, они хотят разговаривать во время бега, поэтому каждый из них несколько корректирует предпочтительную для себя скорость бега. Правило Курамото заключается в том, что быстрый бегун несколько замедляется, а медленный бегун ускоряет свой бег в такой же степени. (Если быть более точным, величина этой коррекции является функцией синуса угла между ними, умноженного на число, называемое силой связи; это число определяет максимально возможную коррекцию.) Это корректирующее действие ведет к синхронизации осцилляторов. Однако, если разность их естественных скоростей оказывается слишком большой по сравнению с силой связи, они не смогут компенсировать разницу в своих физических способностях. Более быстрый бегун постепенно оторвется от своего более медленного товарища; в этом случае им обоим следовало бы подумать о выборе более подходящего для себя партнера по бегу трусцой. Математическая привлекательность этого правила заключается в его симметричности. В отличие от первоначальных формул Уинфри, в этом случае на беговой дорожке нет каких-либо особых мест (когда разные места соответствуют разным характерным событиям в биологическом цикле активности). Для Курамото все места неразличимы между собой. Нет никаких вех. По сути, бегуны не могут узнать, в каком именно месте они находятся, поэтому они бегут молча – никто ничего не выкрикивает, никто ни к кому не прислушивается, – но при этом они внимательно присматриваются друг к другу. Во время бега они вносят соответствующие коррективы в свою скорость, используя формулу, которая зависит лишь от расстояния между ними, а не от места на дорожке, в котором они оказались.

А теперь представьте себе гораздо большую совокупность осцилляторов и, как и ранее, представьте ее в виде клуба бегунов, члены которого весьма различаются между собой по степени физической подготовки. Правило взаимодействия заключается в том, что каждый бегун смотрит на всех остальных бегунов, подсчитывает предположительную коррекцию своей скорости относительно каждого из остальных бегунов и усредняет вычисленные таким образом величины, чтобы получить фактическую величину коррекции. Допустим, например, что в какой-то момент эти бегуны образовали достаточно плотную группу. Правило Курамото говорит лидеру забега о том, что он должен замедлить свой бег относительно предпочтительной для себя скорости, что представляется вполне благоразумным, поскольку в данный момент он опережает всех остальных бегунов. Бегуну, находящемуся в середине этой группы, поступают противоречивые сообщения: некоторые из них рекомендуют ему ускорить свой бег, тогда как согласно другим ему следовало бы замедлиться. Бегун, замыкающий эту группу, получает от своих товарищей призывы ускорить бег.

Все эти корректировки происходят раз за разом, осциллятор за осциллятором. Чтобы сделать задачу такой самокоррекции более интересной, предположим, что участники этого забега договорились начать его с произвольных мест на дорожке. Иными словами, поначалу все бегуны распределены по всей длине дорожки совершенно случайным образом.

Даже если группа сформируется, вовсе не обязательно, что самые сильные бегуны окажутся в ее главе, то есть возможна любая расстановка бегунов в группе. В течение всего времени группа будет продолжать переформировываться и, по мере того как бегуны будут занимать в ней места согласно своим физическим возможностям, будут меняться лидеры группы.

Совсем не очевидно, во что все это выльется на достаточно продолжительном отрезке времени. Самые сильные бегуны могут значительно оторваться вперед от основной группы, тогда как самые слабые бегуны будут плестись далеко в хвосте. Более того, может даже не сформироваться основная группа как таковая. Разброс скоростей бегунов может оказаться столь значительным, что бегуны распределятся по всей длине дорожки. В таком случае все они будут принимать от своих партнеров по забегу столь противоречивые сообщения («беги быстрее», «беги медленнее»), что корректировки скорости вообще прекратятся и каждый будет бежать с наиболее предпочтительной для себя скоростью.

Анализируя столь запутанную ситуацию, Курамото посчитал целесообразным количественно охарактеризовать степень синхронизации с помощью одного числа, которое он назвал параметром порядка.

Интуитивно, когда участники забега бегут плечом к плечу, это представляет собой более тесную форму синхронизма, чем в случае, когда они находятся на значительном удалении друг от друга, и поэтому заслуживают более высокого «балла за синхронизм», то есть должны характеризоваться более высоким значением параметра порядка. Числовое значение параметра порядка всегда находится в диапазоне от 0 до 1 и вычисляется с помощью математической формулы, которая зависит от относительного положения каждого из бегунов. В одном крайнем случае, когда все бегуны пребывают в идеальном синхронизме, то есть бегут «в унисон», параметр порядка равняется 1. В другом крайнем случае, когда все бегуны распределены случайным образом по всей длине беговой дорожки, параметр порядка равняется 0.

В отличие от Уинфри, Курамото не использовал компьютер, чтобы получить примерную оценку того, как такая система будет вести себя. Он полагался исключительно на свою интуицию. Это делает его догадку относительно конечного исхода еще более провидческой: Курамото предположил, что на достаточно продолжительном отрезке времени такая популяция всегда перейдет в как можно более устойчивое для себя состояние. Участники забега будут продолжать бежать, но их относительные позиции в группе не будут изменяться, поэтому параметр порядка будет оставаться неизменным. Более того, сама по себе группа выйдет на некую компромиссную скорость, определяемую членами этой группы. Курамото предположил, что эта скорость также должна оставаться постоянной.

В своем смелом математическом порыве Курамото стремился отыскать лишь такие решения своих уравнений, которые отвечали его интуитивной догадке. Если у какого-либо решения не было постоянного параметра порядка и постоянной скорости группы, такое решение не интересовало Курамото. Он знал, что ищет, а на все остальное он просто не обращал внимания. Это был весьма смелый способ рассуждений, поскольку, если бы истина находилась не там, куда двигался Курамото, руководствуясь своей интуицией, он никогда не отыскал бы эту истину. Другая опасность заключалась в том, что решений, которые интересовали Курамото, могло бы не существовать вообще. Тем не менее он предположил, что такие решения существуют, и поставил перед собой цель найти их. Чтобы обеспечить себе максимальный простор для маневра, Курамото не указал заранее, какими именно должны быть значения параметра порядка и скорости группы – они просто должны быть постоянными. Определить их значения было одной из составляющих задачи, которую ему предстояло решить.

Он пришел к выводу, что такая система может удовлетворять его требованиям двумя разными способами. Параметр порядка мог равняться нулю всегда; это означало, что соответствующая популяция абсолютно и навсегда дезорганизована. Никакая группа в ней никогда не сформируется. Вы будете просто видеть бегунов, движущихся с самыми разными скоростями, причем эти бегуны будут рассредоточены по всей длине беговой дорожки. Такая система будет полностью рассинхронизирована. Как ни странно, это «некогерентное состояние» представляет собой исход, возможность которого нельзя исключить никогда, сколь бы разными или одинаковыми по уровню своей физической подготовки ни были участники забега. Даже если уровень физической подготовки всех участников забега одинаков, некогерентность может сохраняться все время, если она установилась изначально. Интуиция подсказывает, что участники забега не ставят перед собой цели бежать общей группой и с одинаковой скоростью, поэтому «по умолчанию» каждый из них бежит с наиболее комфортной для себя скоростью, а популяция в целом остается такой же дезорганизованной, как и прежде. Другой возможностью является «частично синхронизированное» состояние, которое характеризуется наличием трех групп: синхронизированная группа бегунов, имеющих некий средний уровень физической готовности; более медленная, рассинхронизированная стайка «слабаков»; и более быстрая, также рассинхронизированная стайка сильных бегунов. В отличие от случая некогерентности, такое состояние возможно не всегда. Курамото пришел к выводу, что существование такого состояния возможно лишь до определенного порога разнородности. Если колоколообразная кривая оказывается шире, чем этот порог (а это означает, что состав клуба бегунов чересчур разнороден), такое частично синхронизированное состояние пропадает. Из этого можно сделать вывод, что в популяции светлячков или клеток мозга осцилляторы должны быть достаточно однородны; в противном случае синхронизация вообще невозможна.

Одним махом Курамото «реабилитировал» и Винера, и Уинфри. Частично синхронизированное состояние является именно тем, что имел в виду Винер, когда он моделировал альфа-ритм мозговых волн. Узкий пик в центре спектра Винера соответствует синхронизированной группе, а «хвосты» по обе стороны от пика соответствуют рассинхронизированным осцилляторам, слишком медленным или слишком быстрым, чтобы можно было обеспечить их синхронизм с основной группой. Фазовый переход, обнаруженный Уинфри, был, по сути, то же самое, что и порог, обнаруженный Курамото. Как поняли они оба, синхронизированная группа не может образоваться, если соответствующая популяция не окажется в достаточной степени однородной. Этот важный момент Винер упустил из виду.

Курамото не только заметил этот фазовый переход, но и смог вывести точную формулу для него. Кроме того, он смог точно вычислить степень упорядоченности группы как функцию ширины колоколообразной кривой. Его формулы показали, что крошечное синхронизированное ядро зарождается при достижении порога; при этом параметр порядка едва превышает 0. По мере снижения разнородности (когда осцилляторы становятся все более похожи друг на друга) к синхронизированной группе подключается все большее число членов популяции, а параметр порядка повышается. Наконец, при достижении нулевой ширины колоколообразной кривой (все осцилляторы идентичны) формула Курамото прогнозирует состояние идеального порядка, то есть состояние полного синхронизма.

Вскоре после того как в 1986 г. мне было присвоено звание доктора философии, я начал стажироваться у Нэнси Копелл, математика из Бостонского университета[44]. В то время Нэнси Копелл была лишь в начале своей научной карьеры. Симпатичная и веселая женщина, тонкий мыслитель и прирожденный лектор, она уже в те годы получила признание как один из лучших в мире биологов-математиков. (В частности, они вместе со своим сотрудником Бардом Эрментраутом заявили о себе во весь голос, применив новые математические методы к изучению нервной системы.) Мы несколько раз встречались с ней на научных конференциях, и она показалась мне идеальным наставником для очередного этапа в моей научной карьере, когда моя цель заключалась в углублении своей подготовки в области математики. Когда я сказал ей, что хотел бы работать над какой-либо проблемой, касающейся популяций осцилляторов, Нэнси предложила мне ознакомиться с моделью Курамото.

Результаты, полученные Курамото, привели меня в восторг. Во время учебы в магистратуре нам говорили, что большие нелинейные системы – настоящие монстры, практически не поддающиеся решению. Однако Курамото удалось найти решение для одной из таких систем – и это решение было просто блестящим. Более того, это решение показалось мне не таким уж трудным для понимания. Знакомясь с ходом рассуждений Курамото, я чувствовал себя так, словно именно я сам прихожу к таким выводам. Нэнси лишь улыбалась, слушая, с каким энтузиазмом я рассказываю о своих впечатлениях от знакомства с моделью Курамото. Затем она, как бы невзначай, указала на слабые места в рассуждениях Курамото, на все его логические нестыковки. Одним словом, здесь было к чему приложить руку молодому и многообещающему математику – такому, например, как я. Моя задача заключалась в том, чтобы поместить интуитивные догадки Курамото на более солидный математический фундамент. В течение всего следующего года я работал вместе с Нэнси, пытаясь доказать теорему, которая, по нашему общему мнению, должна быть верна. Хотя мне так и не удалось решить эту задачу, модель, предложенная Курамото, все больше увлекала меня.

Даже по окончании стажировки у Нэнси Копелл я продолжал размышлять над этой моделью на протяжении нескольких последующих лет. Аспект, который интересовал меня больше всего, касался возникновения порядка из хаоса случайности. Каким образом системе, состоящей из миллионов частиц, удается спонтанно организовать себя? В этом вопросе заключалось нечто мистическое. В нем звучали даже религиозные нотки, напоминающие мне библейскую историю рождения земной тверди из чего-то совершенно бесформенного и аморфного или, как называли это состояние древние греки, из хаоса.

Возможно, мы никогда не поймем причины возникновения порядка в реальной Вселенной, но в воображаемой вселенной модели Курамото эта задача упрощается до такой степени, что мы можем найти для нее математическое решение. Здесь возникает вопрос генезиса: каким образом некогерентность порождает синхронизм? Однажды мне пришло в голову, что существует достаточно простой способ сформулировать этот вопрос в виде упражнения на решение дифференциальных уравнений: нужно лишь рассматривать некогерентность как состояние равновесия, а затем вычислить его устойчивость.

Чтобы прояснить математический смысл таких знакомых большинству из нас понятий, как равновесие и устойчивость, рассмотрим ряд примеров из окружающего нас мира. Допустим, мы поставили стакан с водой на кухонный стол. Секунду-другую вода будет «устаканиваться», а затем придет в состояние покоя. Теперь поверхность воды в стакане выглядит плоской и горизонтальной. Это и есть состояние равновесия – в том смысле, что в таком состоянии вода может пребывать сколь угодно долго. Такое равновесие можно также назвать устойчивым состоянием, поскольку, если немного встряхнуть стакан, а затем оставить его в покое, то поверхность воды в нем быстро вернется к исходному состоянию. Таким образом, равновесие означает, что ничего не меняется; устойчивость означает, что слабые возмущения быстро сходят на нет. Теперь рассмоторим другой пример. Возьмите карандаш и заточите его, затем поставьте этот карандаш вертикально на заточенный кончик грифеля и попытайтесь тщательно сбалансировать его. Отпустите карандаш. Если вам удалось идеально сбалансировать его, он продолжит стоять вертикально; таким образом, по определению, это состояние также является состоянием равновесия. Но совершенно очевидно, что такое состояние не является устойчивым: даже легчайшее дуновение ветерка опрокинет карандаш, после чего он уже не вернется самостоятельно в вертикальное положение.

Для модели Курамото некогерентность является состоянием равновесия: если осцилляторы каждой частоты распределены равномерно по окружности, то они навсегда останутся распределенными равномерно. Несмотря на то что осцилляторы бегут по окружности, их равномерное распределение остается неизменным. Нерешенная проблема заключалась в том, остается ли это состояние равновесия устойчивым, подобно воде в стакане, или неустойчивым, подобно карандашу, балансирующему на кончике своего грифеля. Если оно неустойчиво, это означало бы, что синхронизм мог бы возникнуть самопроизвольно и что бегуны со временем соберутся в группу.

Этот вопрос не давал покоя ученым в течение 15 лет. Сам Курамото публично признавался в этом. В своей книге он написал, что не знал, как подступиться к решению этой проблемы. Этот вопрос ставил ученых в тупик, поскольку существовало бесконечно большое множество способов некогерентной организации осцилляторов. Именно в этом заключалось главное препятствие. Некогерентность не была каким-то одним состоянием; это было семейство из бесконечно большого числа состояний.

На протяжении многих лет мне не удавалось добиться хоть какого-то успеха в решении проблемы устойчивости. Однажды поздно вечером, в момент, когда я уже был готов погрузиться в сон, у меня в голове мелькнула неожиданная идея: а что, если осцилляторы похожи не на бегунов, а на молекулы в жидкости! Точно так же как вода состоит из триллионов дискретных молекул, эта воображаемая «осцилляторная жидкость» должна состоять из триллионов дискретных точек, бегущих по окружности[45].

Вообще говоря, родившийся в моей голове образ должен был выглядеть еще более сложно и необычно. Мне нужно было вообразить множество разных жидкостей, по одной для каждой частоты, представленной в соответствующем распределении частот. Точнее говоря, бесконечно большое число разных частот, подобно сочетанию цветов в радуге. Поэтому я нарисовал в своем воображении радугу цветных жидкостей, причем все они «завихряются» вокруг одной и той же окружности, никогда не смешиваясь между собой, поскольку осцилляторы никогда не меняют свою естественную частоту. Преимущество этой психоделической картины заключается в том, что некогерентность становится единственным состоянием. Таким образом, я имею дело уже не с бесконечно большим семейством, а лишь с одним состоянием однородной плотности, причем каждая цветная жидкость равномерно распределена по всей окружности.

Я буквально выскочил из постели, схватил карандаш и бумагу. В голове засыпающего человека чаще всего возникают всевозможные фантастические картины, но идея, родившаяся в моей голове, казалась мне очень близкой к тому, что имеет место в реальности. Первым делом мне нужно было адаптировать законы механики жидкостей к моей воображаемой «осцилляторной жидкости». Затем я составил уравнения для создания стандартного теста на устойчивость: вывести систему из равновесия, решить уравнения для соответствующих возмущений (эти уравнения имеют решение, поскольку они линейны, даже если исходная система не является линейной) и проверить, нарастают ли эти возмущения или, наоборот, сходят на нет.

Составленные мною уравнения показали, что ответ зависит от того, насколько подобны между собой осцилляторы. Я нашел, что в случае, если они идентичны или почти идентичны, возмущения нарастают по экспоненциальному закону по мере того, как осцилляторы сближаются между собой по фазе, образуя зачаточную форму синхронизма. Затем родилась формула, описывающая скорость экспоненциального роста (аналогичная процентной ставке, определяющей скорость приращения суммы на вашем банковском счете). Никто до меня такой формулы не смог предложить. Это был точный прогноз, правильный или неправильный – другое дело. Наутро мне предстояло проверить свои догадки на компьютере.

У меня вспотели ладони, когда я, строка за строкой, проводил свои вычисления. Все работало! Я наблюдал рождение порядка. Затем я ненадолго остановился. Существует ли интервал критических частот, в котором скорость нарастания падает до нуля, а некогерентность уже не является неустойчивой? Да, такое критическое состояние возникает при достижении такого же порога, который был обнаружен Курамото. Это выглядело весьма убедительно. Итак, я нашел новый способ вычисления фазового перехода – точки замерзания, при которой впервые наступает синхронизация.

Через несколько часов после восхода солнца я позвонил своему сотруднику Ренни Миролло, чтобы соотщить ему приятную новость. Я начал описывать свои соображения относительно «осцилляторной жидкости», но он быстро прервал меня: «К чему вся эта софистика?» Будучи «чистым» математиком, он никогда не изучал механику жидкостей и доверял лишь уравнениям, не прибегая к помощи воображения. Мои вычисления казались ему весьма сомнительными. Но я был уверен в своей правоте. Несколько позже в тот же день я вернулся к себе в офис и убедился в том, что предсказанные мною скорости нарастания идеально совпадали с результатами компьютерного моделирования. Ренни быстро заключил мир с «осцилляторной жидкостью».

Вместе с Ренни мы решили вопрос устойчивости некогерентного состояния по другую сторону порога, где интервал частот достаточно большой, аналогично температурам выше точки замерзания. Мы ожидали, что некогерентность должна теперь стать устойчивой. Но вместо этого уравнения указывали на то, что она «нейтрально устойчива» – очень редкий, пограничный случай, когда переходные возмущения ни нарастают, ни затухают.

Вообразите, например, маленький шарик, который находится на дне чашки с полусферической формой внутренней поверхности. Если такой шарик переместить в любую другую точку на внутренней поверхности чашки, он скатится обратно на дно, которое является точкой устойчивого равновесия. Теперь допустим, что форму внутренней поверхности чашки можно регулировать: с помощью некоего рычажка вы можете постепенно делать ее более плоской (то есть придавать ей форму с меньшей кривизной). Дно по-прежнему остается устойчивым, но все же менее, чем прежде: шарик, перемещенный в любую другую точку на внутренней поверхности чашки, медленнее скатывается в точку устойчивого равновесия. По мере того как вы все больше поворачиваете рычажок регулирования кривизны, форма внутренней поверхности чашки становится все более плоской. Когда рычажок регулирования достигнет некого критического деления, внутренняя поверхность чашки станет совершенно плоской и горизонтальной, а в результате дальнейшего изменения положения рычажка она станет похожа на выпуклую контактную линзу (слабо выраженная куполообразная форма), превратившись в конечном счете в выпуклую полусферу. В ходе такого постепенного превращения вогнутое дно чашки превратилось в куполообразную выпуклость. Теперь, если шарик слегка подтолкнуть, он скатится на край дна: состояние равновесия оказалось неустойчивым. Наш регулировочный рычажок оказался на критической границе между устойчивостью и неустойчивостью, когда контактная линза стала совершенно плоской. В этом – и только в этом – положении регулировочного рычажка равновесие нельзя назвать ни устойчивым, ни неустойчивым. Шарик находится в состоянии неопределенности; можно сказать по-другому: это состояние является нейтрально устойчивым. Если шарик сместить с этого положения нейтрального равновесия, он не вернется в исходное положение, но и не скатится в какое-то другое положение.

Как следует из этой метафоры, нейтральная устойчивость обычно имеет место лишь в переходных состояниях, при неких критических значениях параметров системы («рычажков», которые управляют ее свойствами). Но модель Курамото нарушала это правило. Ее некогерентное состояние упрямо оставалось нейтрально устойчивым, даже когда мы расширяли колоколообразную кривую, чтобы сделать популяцию более разнородной. Изменение положения нашего «рычажка» в достаточно широком диапазоне значений параметров не оказывало никакого влияния.

Мы обсудили этот необычный результат с Полом Мэтьюзом, преподавателем прикладной математики в Массачусетском технологическом институте. Пол провел ряд сеансов компьютерного моделирования, результаты которых, однако, повергли нас в еще большее недоумение. Он протестировал устойчивость другим способом, вычислив поведение параметра порядка на достаточно продолжительном отрезке времени, и обнаружил, что значение этого параметра снижается по экспоненциальному закону – что было, вообще говоря, характерным признаком устойчивости, а не нейтральной устойчивости. Теперь мы оказались по-настоящему озадаченны: некогерентность была нейтральной по одному показателю, но устойчивой по другому показателю.

Спустя несколько недель Пол читал лекцию у себя на родине, в Англии, в университете Уорвика. В ходе этой лекции он описал странные результаты, полученные нами[46]. Один из присутствующих на этой лекции, профессор Джордж Роуландз, сказал Полу, что на самом деле в этом результате нет ничего странного: это явление называется демпфированием Ландау[47] и стало известно физикам, изучающим свойства плазмы, еще около 45 лет назад.

О свойствах плазмы нам было известно не так уж много, но все мы, конечно же, слышали о Ландау. Лев Ландау был одним из выдающихся физиков XX столетия. В эпоху узкой специализации он хорошо разбирался во всех отраслях теоретической физики, начиная с субатомных частиц и заканчивая турбулентностью в жидкостях. Он был яркой личностью, эксцентричным и вспыльчивым гением, карьера которого завершилась 7 января 1962 г., когда он попал в ужасную автокатастрофу под Москвой[48]. Его тело было раздавлено, кости переломаны, многие органы серьезно повреждены. Он впал в состояние комы. В течение 100 суток его электроэнцефалограмма представляла собой практически горизонтальную линию. Врачи подключили его к аппарату для искусственного дыхания и прилагали героические усилия, пытаясь спасти ему жизнь. Четырежды констатировали его смерть, но каждый раз, буквально чудом, он возвращался к жизни. Позже в том же году он был награжден Нобелевской премией за открытия, сделанные им десятью годами ранее (он использовал квантовую теорию, чтобы объяснить необычное поведение сверхтекучего гелия при температурах, близких к абсолютному нулю). В октябре 1964 г. его выписали из больницы, однако ему так и не удалось выздороветь полностью. Он умер через несколько лет.

За свою жизнь Ландау совершил немало открытий. В частности, в конце 1940-х годов он предсказал необычные свойства плазмы. Плазму иногда называют четвертым состоянием материи, возникающим при очень высоких температурах, намного превышающих температуры, при которых материя пребывает в твердом, жидком и газообразном состояниях. Такие температуры действуют на Солнце, а также в реакторах термоядерного синтеза, где обычные атомы превращаются в ионизированный газ, состоящий из примерно равных количеств электронов и положительно заряженных ионов. Парадоксальное явление, которое в настоящее время носит имя Ландау, происходит, когда электростатические волны проходят через высоко разреженную плазму. Ландау показал, что эти волны могут затухать даже в отсутствие столкновений между частицами в плазме, а также в отсутствие какого-либо трения или рассеяния. Джордж Роуландз понял, что демпфирование Ландау описывается, по сути, тем же математическим механизмом, что и сползание в некогерентность в модели Курамото: электроны, содержащиеся в плазме, играют роль осцилляторов, а величина колебаний в генерируемом ими электрическом поле играет роль параметра порядка.

На первый взгляд кажется удивительным, что между неистовым миром сверхгорячей плазмы на Солнце, где атомы регулярно теряют свои электроны, и спокойным миром биологических осцилляторов, в котором светлячки тихо мерцают, расположившись на берегах реки, может существовать какая-то связь. Действующие лица разные, но абстрактные картины взаимодействия между ними, по сути, одинаковы. Когда эта связь была выявлена, нам удалось перенести методы Ландау на модель Курамото, раскрыв таким образом тайну, которая многие годы не давала покоя ученым. Биологии также удалось внести вклад в развитие физики. Джон Дэвид Кроуфорд, физик из Питтсбургского университета, смог применить результаты, полученные при исследовании биологического синхронизма, для решения давней проблемы, касающейся поведения плазмы[49].

Теории взаимной синхронизации биологических осцилляторов оказались правильными с математической точки зрения. Они пролили свет на один из самых фундаментальных механизмов самоорганизации. Однако предстояло ответить на более сложный вопрос: насколько точно эти модели описывают реальность. Позволяют ли они предсказывать явления, которые согласуются с данными, описывающими реальных светлячков, клетки сердца или нейроны[50]?

Этого мы не знаем. До настоящего времени никакие тесты в этом отношении не проводились. Соответствующие эксперименты выполнить было бы очень непросто, поскольку они требуют измерений на уровне отдельно взятых животных или клеток, в частности измерений их естественных частот и их реакций на внешние воздействия разной силы и в определенные моменты времени, а также на уровне сети в целом, чтобы количественно оценить взаимодействия между осцилляторами и результирующее коллективное поведение. Особенно трудно измерить взаимодействия между парами осцилляторов. Если эти пары осцилляторов оставить в сети, то на результатах наших измерений может сказаться влияние со стороны других осцилляторов; если же эти пары осцилляторов изъять из сети, хирургическим или иным способом, то в процессе такого изъятия могут пострадать окружающие осцилляторы и соединения между ними. Кроме того, соединения внутри сетей, как правило, остаются неизвестными за исключением нескольких малых систем нейронов. Не зная, кто с кем взаимодействует, невозможно выполнить количественное тестирование моделей. Например, если на дереве расположилось множество светлячков, то вам пришлось бы точно определить, какие из них кого видят, измерить естественные частоты мерцания каждого из них и, наконец, измерить функции чувствительности и влияния каждого насекомого. Никто не пытался выполнить такой эксперимент даже для двух светлячков, не говоря уж о том, чтобы выполнить его для большой совокупности светлячков.

Тест, носящий более качественный характер, следовало бы выполнить, чтобы подтвердить или опровергнуть существование фазового перехода. Прогноз заключается в том, что степень синхронизации должна повышаться резко, а не постепенно, при превышении определенного (критического) значения либо силы связи, либо разброса частот. В этом случае проведение эксперимента также оказалось бы очень непростым делом. Чтобы изменить силу связи между светлячками, вы могли бы поместить их в затемненное помещение, а затем регулировать уровень освещенности в этом помещении с помощью реостата, чтобы насекомые могли лучше или хуже видеть друг друга. В этом нет ничего сложного, но измерить одновременно картины мерцаний у всех насекомых было бы чрезвычайно сложно. Но без такой информации мы не могли бы определить степень синхронизации и, следовательно, не могли бы определить, произошел ли переход. Аналогичный эксперимент было бы легче выполнить с нейронами, но в этом случае вам пришлось бы одновременно фиксировать сигналы от каждой клетки (что, с технической точки зрения, было бы чрезвычайно трудно); параллельно с этим вам пришлось бы дозированно вводить лекарственные препараты для постепенного устранения связей между ними и следить за тем, чтобы эти препараты не повлияли на какие-либо другие свойства этих клеток, помимо их взаимной связи. Пока еще никто не пытался провести столь сложный эксперимент.

Или можно было бы попытаться воспроизвести винеровский спектр частот, с его узким центральным пиком и «провалами» по обе стороны от пика. Это было важнейшим свидетельством в пользу его теории подтягивания частот, но, учитывая его центральную роль, мне всегда казалось странным, что я никогда не слышал о попытках такого воспроизведения. И еще кое-что казалось мне подозрительным. Если Винеру и его сотрудникам действительно удалось найти важнейшее доказательство – спектр с двойным провалом, который, по мнению Винера, является свидетельством синхронизации, – то почему он не предоставил соответствующие данные, которые говорили бы сами за себя? В своей книге «Нелинейные задачи в теории случайных процессов», опубликованной в 1958 г.[51], он предложил схематическую картину спектра, которую мы видели ранее, с ее идеально симметричным пиком, возвышающимся меж двух провалов, идеально симметрично расположенных по обе стороны от пика, причем центр этой идеально симметричной картины соответствует в точности 10 циклам в секунду. Это не должно было никого ввести в заблуждение. На осях предложенной им диаграммы даже не было разметки. Впоследствии – в книге «Управление и связь в животном и машине. Новые главы кибернетики», изданной в 1961 г.[52], – Винер наконец-то представил кое-какие реальные данные (предположительно, это был самый убедительный пример, имевшийся в его распоряжении), однако на рисунках отсутствовал его любимый «провал».

Несколько лет тому назад я спросил у Пола Раппа, биолога-математика и эксперта по мозговым волнам, не приходилось ли ему встречать такой спектр в своих собственных измерениях. Нет, не приходилось, но если бы такой спектр действительно существовал, то обнаружить его было бы не так уж сложно. Он провел ряд новых экспериментов, целенаправленно пытаясь обнаружить такой эффект, но даже при использовании новейших технологий его попытки не принесли желаемого результата. Неужели Винер пытался ввести нас в заблуждение? Неужели столь любимый им «провал» был лишь плодом его богатого воображения? Я не хотел верить этому, поэтому лично для меня было огромным облегчением узнать подоплеку того, что в действительности случилось в 1958 г.

Во время посещения мною конференции по прикладной математике в июле 2001 г. мне удалось поговорить с Джеком Кауэном, биологом-теоретиком, который долгое время работал над математическими моделями мозга. Рассчитывая на то, что Джек Кауэн располагает обширной информацией об альфа-ритмах, я спросил у него, знаком ли он со старой теорией Винера. Разумеется, ответил он с улыбкой. В то самое время он тоже работал в Массачусетском технологическом институте. Однажды у него состоялась продолжительная беседа с Винером, во время которой тот прочитал ему целую лекцию об интересующем меня спектре. «Норберту вообще нравились люди, готовые слушать его долгие рассуждения».

Джек Кауэн прибыл в МТИ осенью 1958 г. и был включен в группу аспирантов, работающих под руководством Уолтера Розенблита. Примерно в то же время Маргарет Фриман, работавшая исследователем в группе Розенблита, выполнила первые измерения спектра. Именно она открыла этот пресловутый пик и двойной «провал», которые привели в восторг Винера. Несмотря на то что это были лишь предварительные результаты, Винер раструбил о них в своей книге, опубликованной в 1958 г.

К сожалению, результаты, полученные Фриман, оказались неправильными. «Другие исследователи пытались воспроизвести эти результаты, – рассказал мне Кауэн, – а когда их попытки завершились неудачей, все теоретические построения, базировавшиеся на этих результатах, оказались несостоятельными». Фриман допустила ошибку в своих вычислениях. Когда она повторила свои вычисления, двойной «провал» исчез. Впрочем, спустя три года, когда была опубликована книга «Управление и связь в животном и машине. Новые главы кибернетики», у Винера появился шанс исправить эту досадную ошибку. На этот раз он решил продемонстрировать реальные данные. Вот как он описывает этот спектр:

В приведенной цитате голос Винера звучит очень уверенно. Это голос гения, который решил поучить уму-разуму специалистов по электроэнцефалографии. Но затем его речь начинает звучать гораздо осторожнее, а его высказывания носят сослагательный характер.

Когда я впервые прочитал это десять лет тому назад, я был поражен невнятностью этих высказываний. Это было так непохоже на Винера, обычно предпочитающего смелые и безапелляционные формулировки. Но когда я читаю этот отрывок сейчас, он берет меня за душу. Я будто слышу голос человека, переживающего мучительную борьбу с самим собой, – ученого, цепляющегося за идею, которая, по его твердому убеждению, должна быть правильной, и вместе с тем пытающегося найти в себе силы быть интеллектуально честным. Несмотря на то что «провал» нигде не обнаруживается, он призывает нас верить, что этот «провал» обязательно обнаружится в ходе других исследований, но он не позволяет себе «давить» на нас слишком сильно: он допускает, что результаты этих других исследований могут «вызывать определенные сомнения», и говорит, что существуют лишь «некоторые свидетельства» наличия «провала» в кривых. Есть этот «провал» или его нет, последнее предложение показывает, что Винер вовсе не был намерен отказываться от представления о том, что осцилляторы синхронизируются путем подтягивания частот друг друга. Он был уверен, что такой механизм синхронизации является универсальным. Этот механизм был обязан играть важную роль. Винер не желал пасть жертвой того, что Т. Г. Хаксли называл «великой трагедией науки – уничтожения прекрасной теории каким-нибудь отдельным безобразным фактом».

Винер напоминает мне пророка, который знает, как должен быть устроен мир. Это качество наблюдается у других великих ученых. Галилей не открыл бы, что у движущегося тела есть тенденция к продолжению движения (закон инерции), если бы он ограничился описанием того, что происходит в действительности (сила трения приводит к остановке движущегося тела). Абстрагируясь от несущественного и второстепенного, он открыл самый фундаментальный закон механики. Грегор Мендель открыл законы генетики, изучая картины наследования у бобовых культур. Некоторые современные статистики подвергают сомнению данные, полученные Менделем, называя их слишком идеальными, чтобы быть похожими на правду, тогда как другие проявляют большую снисходительность, предполагая, что Мендель скрупулезно отбирал образцы, которые лучше всего подтверждают сформулированные им принципы. Какая бы из этих версий ни казалась вам более правдоподобной, очевидно, что Мендель точно знал, что он хочет доказать.

Несмотря на то что Винер ошибался со своими выводами относительно альфа-ритма, ирония судьбы заключается в том, что он оказался прав относительно другого вида ритмов в мозге. В 1995 г. биологи Дэвид Уэлш и Стив Репперт из Массачусетского военного госпиталя обнаружили, что в мозге имеется популяция осцилляторов с распределенными естественными частотами, которые, подтягивая друг друга, достигают синхронизма и которые в совокупности образуют более точный осциллятор, чем каждый из них в отдельности[54]. Винер предвидел все это, но упустил из виду важную деталь: вместо того чтобы генерировать колебания с частотой 10 циклов в секунду, эти клетки генерируют колебания с частотой, примерно в миллион раз меньшей. Речь идет о клетках – задатчиках циркадного ритма – внутреннего хронометра, который поддерживает нас в синхронизме с окружающим миром.