Книга: Сейчас. Физика времени

Приложение 3 Доказательство иррациональности ?2

Приложение 3

Доказательство иррациональности ?2

Если предположить, что число ?2 рационально, это будет означать, что это число можно записать в виде I/J, где I и J – целые числа. А теперь, если удастся свести это утверждение к противоречию, мы докажем, что наше первоначальное предположение ложно.

Если I и J четные, можем упростить дробь на общий делитель 2 и повторить это действие столько раз, сколько понадобится, чтобы хотя бы одно из этих чисел стало нечетным. Это значит, что если ?2 = I/J, то можно записать также ?2 = M/N, где по крайней мере одно из чисел M и N или оба нечетные.

M/N = ?2. Возведем это уравнение в квадрат и умножим на N, получим M? = 2N?. Поскольку M? получается умножением на два, это число четное. Значит, M тоже четное, поскольку квадрат нечетного числа всегда нечетный. А теперь я покажу, что N тоже четное.

Поскольку M четное, мы можем записать его как M = 2K, где K – еще одно целое число. Возведя это уравнение в квадрат, получим M? = 4K?. Чуть ранее мы показали, что M? = 2N?, поэтому 2N? = 4K?. Разделив на 2, получим N? = 2K?. Следовательно, число N? четное, а значит, и N – тоже четное.

Мы получили противоречие с нашим выводом, что хотя бы одно из чисел M и N должно быть нечетным. Единственной возможной причиной (поскольку в остальном мы строго следовали правилам математики) оказывается то, что наше первоначальное предположение – о том, что ?2 можно записать как I/J, – неверно. Таким образом, иррациональность ?2 доказана.

Этот результат так интересен, в частности, потому, что его никак невозможно получить в рамках физики. Никакое измерение не в состоянии продемонстрировать, что число ?2 иррационально. Это истина, лежащая за пределами физических измерений; она существует только в человеческом сознании. Это нефизическое знание.

Если интересно, можете попробовать доказать аналогичным способом, что иррационально число ?4. Разумеется, это не так; ?4 = 2/1. Попробуйте просто применить подход, который мы только что использовали, и посмотреть, где он не сработает.