Книга: О времени, пространстве и других вещах

Глава 13 Буквой с обозначается скорость света в пустоте

Глава 13

Буквой с обозначается скорость света в пустоте

Вряд ли можно назвать физическую формулу более известную, чем e = mc², полученную Эйнштейном. Ее знают все: высокоинтеллектуальные читатели научной фантастики, физики-атомщики, студенты, газетные репортеры, домашние хозяйки, водители автобусов и даже некоторые конгрессмены.

Конечно, знать — это еще не значит понимать. Точно так же умение быстро пробормотать «Отче наш» не является свидетельством глубины религиозных чувств.

Давайте внимательно рассмотрим эту формулу. Каждая буква является начальной буквой в слове, обозначающем соответствующую величину: e — первая буква слова energy (энергия), m — слова mass (масса), а c — слова celeritas (скорость по-латыни). Последняя величина — это скорость света в вакууме.

Но это еще не все. Следует также иметь представления о единицах измерения всех ее составляющих. К примеру, нет смысла говорить о массе, равной 2,3. Масса может быть равна 2,3 грамма, 2,3 фунта, 2,3 тонны и т. д.

Теоретически можно выбирать любые удобные единицы измерения. Однако на практике обычно массу выражают в граммах, расстояние в сантиметрах, а время в секундах, а все последующие единицы выводят из трех фундаментальных.

Поэтому m в формуле Эйнштейна выражается в граммах (г), с — в сантиметрах в секунду (см/сек). Кстати, обратите внимание, что предлог «в» в выражении «сантиметры в секунду» при кратком обозначении единицы измерения заменен дробной чертой. Дело в том, что для получения скорости, выраженной количеством сантиметров, пройденных за 1 секунду, следует число сантиметров разделить на число секунд. Если, например, за 8 секунд пройдено 24 сантиметра, скорость равна 24 см : 8 сек = 3 см/сек.

Но вернемся к предмету нашего разговора. В формуле величина с возведена в квадрат: с ? с = с², см/сек ? см/сек = см²/сек².

Точно так же, площадь участка земли 60 ? 60 футов будет равна не 3600 футов, а 3600 квадратных футов.

Возникает вопрос: в каких единицах будет измеряться e? На него ответит сама формула Эйнштейна, если мы произведем с единицами измерения те же действия, что и с любыми другими алгебраическими символами. Напомню, e = mc². Если m измеряется в г, а c² — в см²/сек², то единица измерения e — г·см²/сек².

Между прочим, еще задолго до появления формулы Эйнштейна было решено, что единица измерения энергии (на основе грамма — сантиметра — секунды) должна быть г·см²/сек². Я сейчас объясню почему.

Единица скорости — это см/сек. Я уже об этом говорил. Но что происходит, когда предмет меняет скорость? Предположим, в какой-то момент предмет движется со скоростью 1 см/сек, секундой позже его скорость становится 2 см/сек, в следующую секунду — 3 см/сек. Иными словами, предмет движется с ускорением (слово acceleration — ускорение тоже произошло от латинского celeritas).

В приведенном выше примере ускорение составляет 1 сантиметр в секунду в каждую секунду. Заменив последнее «в» дробной чертой, получим 1 см/сек/сек.

Как я уже говорил, мы имеем право обращаться с единицами измерения как с любыми алгебраическими символами. Произведя соответствующие преобразования, получим 1 см/сек/сек — 1 см/сек². Это и есть единица измерения ускорения.

В физике Ньютона сила вызывает ускорение. Согласно 1-му закону Ньютона, любой движущийся предмет, предоставленный сам себе, будет всегда двигаться с постоянной скоростью и в постоянном направлении. В частном случае скорость может быть нулевой, и, согласно тому же закону Ньютона, объект в состоянии покоя, если его не тревожить, останется в покое навсегда.

Под действием силы, которая может быть гравитационной, электромагнитной, механической и т. д., скорость изменяется. Это означает, что изменяется величина скорости, или ее направление, или и то и другое.

Величина силы, действующей на предмет, измеряется вызванным ею ускорением, а также массой предмета, поскольку сила, приложенная к более тяжелому предмету, вызовет меньшее ускорение, чем та же сила, приложенная к более легкому предмету. (Если хотите, можете проверить. Ударьте изо всех сил сначала по надувному пляжному мячу, а затем по пушечному ядру и посмотрите, что получится.)

Ваши наблюдения можно будет выразить формулой: f = ma (сила равна массе, умноженной на ускорение). Единица массы — г, ускорения — см/сек², а единица силы равна их произведению, то есть г · см/сек².

Очевидно, физикам со временем надоело постоянно произносить такую длинную размерность (грамм на сантиметр на секунду в квадрате), и они заменили ее коротким словом «дин» (от греческого dynamis — сила). 1 дин — 1 г · см/сек².

Дин — это количество силы, приложенное к телу массой 1 г и вызывающее ускорение 1 см/сек².

Ясно?

Теперь о понятии работы. В понятии физиков работа — это совсем не то, чем я занимаюсь, сидя за пишущей машинкой и ломая голову над написанием очередной главы. Для физиков работа — это преодоление силы. Поднять предмет против действующей на него силы тяжести; отодвинуть металлический брусок, преодолев притяжение магнита; забить в стенку гвоздь, преодолев силу трения, — вот это работа.

Количество работы зависит от величины силы, которую необходимо преодолеть, и расстояния. Или w = fd (работа равна силе, умноженной на расстояние).

Единица расстояния — см, единица силы — дин, следовательно, единица работы — дин · см. И снова физикам не понравилось произносить длинную размерность, и они придумали слово покороче — «эрг» (от греческого ergon — работа).

1 эрг — это работа, выполненная при перемещении предмета на расстояние 1 см силой в 1 дин.

А теперь припомните, что дин = г · см/сек². Это означает, что единица работы — это см · г · см/сек². Или эрг = г · см²/сек². Другими словами, 1 эрг — это работа, совершаемая при перемещении предмета массой 1 г на расстояние 1 см с ускорением 1 см/сек².

Немного более века назад было обнаружено, что работа и энергия являются величинами равноценными, то есть их единицы измерения одинаковы. Следовательно, эрг является также единицей измерения энергии в системе единиц грамм — сантиметр — секунда.

Вернемся к формуле Эйнштейна. Подсчитанная по ней энергия измеряется в г · см²/сек², а это и есть эрг. Причем здесь нет никакого совпадения. Если бы по этой формуле получилась какая-нибудь другая единица, Эйнштейну пришлось бы заточить карандаш и начинать работу заново — искать ошибку.

Теперь можно подставить в формулу Эйнштейна численные значения. Что касается m, мы можем выбрать любое значение, какое нам понравится. Для простоты выберем m = 1 г.

В случае c у нас выбора нет. Скорость света в вакууме имеет строго определенную величину. В принятой нами системе единиц это 29 979 000 000 см/сек. Мы не сделаем большой ошибки, если округлим это число до 30 000 000 000 см/сек (представьте себе, при этой скорости свет пройдет 30 миллиардов сантиметров, то есть ³/₄ расстояния до Луны всего лишь за 1 секунду!). Скорость света можно также представить в виде 3 ? 10¹⁰ см/сек.

Чтобы получить c², возведем эту величину в квадрат. Получим 900 000 000 000 000 000 000 см², или 9 ? 10²⁰ см²/сек². Выражение mc², равное по формуле Эйнштейна энергии, приобретает вид: 1 г ? 9 ? 10²⁰ г · см²/сек² = 9 ? 10²⁰ эрг.

Другими словами, если 1 грамм будет полностью преобразован в энергию, вы окажетесь счастливым обладателем 900 квинтиллионов эрг. И наоборот, если вам потребуется создать 1 грамм вещества из чистой энергии, вам придется позаботиться о поставке 900 квинтиллионов эрг.

Звучит очень впечатляюще, не так ли? 900 квинтиллионов эрг! Ух ты!

Но не торопитесь удивляться и восхищаться! Лучше подумайте: эрг — для нас единица незнакомая. А так ли уж она велика?

Что ж, 1 эрг — это немного. Более того, это совсем мало. Эрг появился в системе измерений грамм — сантиметр — секунда, но оказался так мал, что на практике вряд ли мог стать полезным. Например, давайте рассмотрим задачу подъема груза весом в 1 фунт на высоту 1 фут. Понятно, что для этого надо преодолеть силу тяжести. В данном случае это не трудно и не потребует большого расхода энергии. Думаю, вы без труда поднимете и 100 фунтов на высоту 1 фут и даже не почувствуете усталости. Сильный мужчина справится и с 1000 фунтов.

Энергия, затраченная на подъем 1 фунта на 1 фут, равна 13 558 200 эрг. Если такая пустяковая работа требует затрат миллионов эрг, нам необходима более крупная единица измерения, чтобы оперировать со сравнительно небольшими числами.

Например, существует единица измерения энергии, названная джоуль. 1 джоуль = 10 000 000 эрг.

Эта единица получила название по имени британского физика Джеймса Прескотта Джоуля. Он, унаследовав изрядное состояние и семейный бизнес, предпочел посвятить себя научным исследованиям. В период с 1840-го по 1849 год он провел ряд тщательных экспериментов, которые продемонстрировали взаимные превращения работы и теплоты и вплотную подвели физиков к пониманию закона сохранения энергии. Закон был впервые сформулирован в 1847 году немецким ученым Германом Людвигом Фердинандом фон Гельмгольцем, которому достались все лавры.

Джоуль оказался исключительно полезной единицей для повседневной жизни. Подъем тела весом 1 фунт на высоту 1 фут требует около 1,36 джоулей энергии. По-моему, очень удобная единица измерений.

А тем временем физики, изучавшие теплоту, ввели новую единицу, удобную для своих целей. Это была калория (от латинского calor — тепло), сокращенно — кал. Калория — это количество теплоты, необходимое, чтобы поднять температуру 1 г воды с 14,5° до 15,5 °C. (Количество теплоты, необходимое для нагрева 1 г воды на 1 °C, немного отличается для разных температур.)

Когда было наглядно продемонстрировано, что все другие формы энергии и все формы работы могут преобразовываться в теплоту, стало очевидно, что любая единица, подходящая для измерения количества теплоты, пригодна для измерения любых видов энергии и работы.

Джеймс Джоуль опытным путем доказал, что 4,185 джоулей энергии или работы могут преобразоваться в 1 калорию. Таким образом, 1 кал = 4,185 джоулей = 41 850 000 эрг.

Хотя калория как единица измерения очень удобна физикам, она маловата для химиков. При химических реакциях обычно поглощается или выделяется количество теплоты, выражаемое в калориях очень большими числами. К примеру, при распаде 1 г углевода на углекислоту и воду высвобождается примерно 4000 калорий. При сгорании 1 грамма жира высвободится около 9000 калорий. А человеческое существо, выполняющее такую работу, какой занимаюсь я, потребит в день 2 500 000 калорий.

Числа были бы удобнее и легче для восприятия при использовании большей единицы измерения, чем калория. Так возникла большая калория: количество теплоты, необходимое для нагрева 1000 граммов (1 кг) воды с 14,5 °C до 15,5 °C. Думаю, ясно, что эта большая калория в 1000 раз больше маленькой. Но, поскольку они обе называются калориями, путаницы меньше не становится.

Эти единицы периодически называют маленькой и большой калориями, грамм-калорией и килограмм-калорией или даже калорией и Калорией. Последнее решение представляется особенно неумным. Интересно, каким образом его авторы предполагают показать это различие в устной речи (а ведь наши ученые должны иногда и говорить).

По моему мнению, самое разумное решение заключается в следующем: в метрической системе 1 кг = 1000 г, 1 км = 1000 м и т. д. Так почему бы не назвать большую калорию килокалорией, сокращенно ккал? 1 ккал — 1000 кал.

Итак: 1 ккал = 1000 кал = 4185 джоулей = 41 850 000 000 эрг.

Еще одна единица измерения — энергия — возникла в связи с появлением понятия мощности. Мощность — это скорость выполнения работы. Машина может поднять груз массой в 1 тонну на высоту 1 фут за 1 минуту или 1 час. В обоих случаях энергия будет затрачена одинаковая, однако потребуется более мощный рывок, чтобы выполнить работу за более короткий промежуток времени.

На поднятие груза весом 1 фунт на высоту 1 фут затрачивается энергия 1 фут-фунт. Эта работа может быть выполнена за 1 секунду, и фут-фунт/сек — допустимая единица измерения мощности.

Первым человеком, предпринявшим серьезную попытку измерить мощность, был Джеймс Уатт (1736–1819). Он сравнил мощность паровой машины, которую сам изобрел, с мощностью лошади, измерив мощность в лошадиных силах (л. с.). При этом он сначала измерил мощность лошади в футах-фунтах/сек, после чего приравнял 1 л. с. к 550 футам-фунтам/сек. Этот коэффициент перевода сейчас является стандартной величиной.

Измерение мощности в футах-фунтах/сек и лошадиных силах является вполне законным, практически везде мощность двигателей принято измерять в лошадиных силах. Эти единицы неудобны тем, что напрямую не увязаны с системой измерений грамм — сантиметр — секунда. 1 фут-фунт = 1,355282 джоуля, 1 л. с. = 10,688 ккал/мин. Оперировать этими величинами не очень удобно.

Идеальной единицей измерения мощности в системе грамм — сантиметр — секунда можно было бы считать эрг в секунду. Однако эрг слишком мал, поэтому удобнее использовать джоули в секунду. А поскольку 1 джоуль = 10 000 000 эрг, 1 Дж/сек = 10 000 000 эрг/сек = 10 000 000 г · см²/сек².

Теперь осталось придумать для единицы более короткое название, предпочтительнее односложное. Выбор представляется очевидным! Что может быть лучше фамилии человека (состоящей из одного слога), который первым попытался измерить мощность. Итак, 1 Дж/сек был принят равным 1 ватту (Вт).

Умножив мощность на время, мы вернемся к энергии. Например, если 1 ватт умножить на 1 секунду, получится 1 Вт · с. А поскольку 1 Вт = 1 Дж/сек, 1 Вт · с = 1 Дж и является единицей измерения энергии.

Более знакомой и привычной единицей является киловатт-час (кВт · ч). 1 кВт = 1000 Вт, 1 час = 3600 сек. 1 кВт · ч = 1000 ? 3600 Вт · с = 3 600 000 Дж = 36 000 000 000 000 эрг.

А так как 4185 Дж = 1 ккал, 1 кВт · ч — 860 ккал — 860 000 кал.

Человеческое существо, потребляющее 2500 ккал/день, производит (разумеется, в форме теплоты) примерно 104 ккал/час, что равноценно 0,120 кВт · ч/час = 120 Вт. В следующий раз, когда вы придете к друзьям на коктейль (или войдете в переполненный вагон метрополитена) в жаркий августовский вечер, можете подумать об этом, глядя на каждого нового гостя или пассажира. Появление каждого дополнительного человека равноценно включению еще одной лампочки на 120 Вт. Таким образом вам наверняка станет еще жарче, но вы получите изрядное удовлетворение, которое дают только научные знания.

Но вернемся к теме. Вы убедились, что существует немало единиц, в которых может быть выражено количество энергии, образовавшееся при полном превращении 1 грамма массы. Этот грамм высвободит:

В результате можно сделать вывод: эрг — очень малая единица, но когда их 900 квинтиллионов, это не может не впечатлить. Преобразовав 1 грамм массы в энергию и использовав ее с должной эффективностью, мы обеспечили бы горение 1000-ваттной электрической лампочки в течение 2850 лет, то есть от эпохи Гомера до наших дней.

Разве это не решит проблему топлива?

Давайте поставим вопрос по-другому: какую массу следует преобразовать, чтобы произвести 1 кВт · ч энергии?

Если 1 грамм массы производит 25 000 000 кВт · ч энергии, то для производства 1 кВт · ч необходимо ¹/_25 000 000 грамма.

Полученная величина чрезвычайно мала. Предположим, мы выбрали единицу, меньшую грамма, и назвали ее микрограмм. Это миллионная часть грамма, то есть 10^-6 г. Тогда 1 кВт · ч получается преобразованием 0,04 микрограмма массы.

Но даже микрограмм слишком велик и поэтому неудобен; тем более что нас может заинтересовать единица мощности меньше, чем кВт · ч. Поэтому мы можем говорить о микромикрограммах (сейчас их называют пикограммами). Это одна миллионная от миллионной части грамма, иными словами, 10^-12 г. Теперь можно утверждать, что для производства:

Чтобы вы лучше прочувствовали эти числа, хочу вам сообщить, что масса обычной клетки человеческого тела — 1000 пикограммов. Если бы условия сложились так, что человеческое тело получило способность преобразовывать массу в энергию, преобразование содержимого 125 клеток (тело, где их не менее 50 000 000 000 000, вполне может себе позволить), снабдило бы тело питанием в размере 2500 ккал на целый день.

Количество массы, которое после преобразования выработает 1 эрг энергии, является слишком маленькой величиной, поэтому нужна величина еще меньше, и мы обратимся к пикопикограммам. Это 10^-24 г, то есть триллионная триллионной части грамма. Потребуется 1950 пикопикограммов массы, чтобы произвести 1 эрг энергии.

Ну и что? Отдельный атом водорода имеет массу примерно 1,66 пикопикограмма, атом урана-235 — массу 400 пикопикограммов. Следовательно, 1 эрг энергии получается преобразованием 1200 атомов водорода или 5 атомов урана-235.

При обычном расщеплении только ¹/₁₀₀₀ часть массы превращается в энергию, и для производства 1 эрга энергии понадобится 5000 расщепленных атомов урана. При слиянии атомов водорода в энергию преобразуется ¹/₁₀₀₀ часть массы, значит, для получения 1 эрга энергии понадобится 120 000 слившихся атомов водорода.

На этом, я думаю, можно оставить в покое формулу e = mc².