Книга: Сейчас. Физика времени

Приложение 1 Математика относительности

Это приложение предназначено для тех, кто хотел бы видеть и понимать алгебру и конкретные расчеты, стоящие за теми результатами, которые мы обсуждали в тексте.

В специальной теории относительности каждому событию соответствуют положение в пространстве x и время t. Чтобы не усложнять ситуацию, давайте считать остальные пространственные координаты – y и z – равными нулю. Обозначим координаты и время событий во второй системе координат, движущейся относительно первой со скоростью v, заглавными буквами X и T. Эйнштейн определил, что верные отношения x, t, X и T задаются преобразованиями Лоренца:

где c – скорость света, а коэффициент замедления времени гамма представлен греческой буквой ? и задается как ? = 1/?(1 ? ??), где греческая буква ? (бета) представляет отношение скорости объекта к скорости света (? = v/c). По умолчанию в этих уравнениях считается, что особое событие (0, 0) в обеих системах отсчета имеет одинаковые координаты.

Хендрик Лоренц был первым, кто записал эти уравнения и показал, что Максвелловы уравнения электромагнетизма им удовлетворяют. Но только Эйнштейн сумел понять, что они представляют реальные изменения в поведении пространства и времени, а затем и применить их для вывода новых уравнений физики. Уравнения Максвелла при этом изменять не потребовалось, а вот уравнения Ньютона пришлось менять, и Эйнштейн заключил, помимо всего прочего, что масса движущихся объектов увеличивается (я говорю здесь о релятивистской массе, рассчитываемой как ?m) и что E = mc?.

У преобразования Лоренца есть замечательное свойство: при решении его уравнений относительно x и t получаются уравнения одинакового вида, за исключением знака при скорости. (При решении используется довольно хитрая алгебра, и придется использовать приведенное выше определение ?, но попытайтесь.) Вот результат:

В сравнении с предыдущими уравнениями изменение знака (с ? на +) – это именно то, чего и следовало ожидать, поскольку по отношению ко второй СО первая система движется со скоростью ?v. Тем не менее кажется поразительным, что уравнение имеет тот же вид. Я бы ни за что не догадался, что так получится. Этот факт – часть чуда теории относительности, согласно которой все инерциальные системы отсчета равно годятся для записи уравнений физики.