Книга: Естествознание. Базовый уровень. 10 класс

§ 72 Вероятность

§ 72 Вероятность

В жизни нам часто приходится сталкиваться с наблюдениями или испытаниями, результаты которых невозможно предвидеть, потому что они зависят от различных обстоятельств, которые мы не знаем или не можем учесть. Часто мы говорим, что некое событие скорее всего произойдёт или, наоборот, что его наступление маловероятно. «Вряд ли завтра будет дождь» или «Скорее всего, мы на следующей неделе поедем на дачу». Что стоит за этими высказываниями и можно ли их выразить в строгой математической форме? Идея о том, что можно как-то измерить значения событий, которые ещё не произошли, но в принципе могут произойти, возникла, как ни странно, в связи с изучением закономерностей выигрышей в азартных играх, таких как карты или кости (рис. 195). Невозможно предсказать, какая карта будет вынута из перетасованной колоды или сколько очков окажется на верхней грани упавшей кости. Однако можно заметить, что если мы будем много раз вытаскивать карты, то туз бубен появится почти точно столько же раз, сколько и тройка треф. Количество выпавших шестёрок на кости будет почти точно такой же, как и количество единиц.

Рис. 195. Изучение закономерностей выигрышей в азартных играх привело к мысли, что можно измерить вероятность ещё не наступившего события

В этих случаях говорят, что все карты колоды или все грани кубика имеют равную вероятность быть вынутыми или выброшенными.

Назовём событие, которое в настоящее время нас интересует, благоприятным. Например, таким событием будет выпадение шестёрки на игральной кости. Если мы будем бросать кость много раз, то увидим, что отношение числа благоприятных событий к общему числу событий, т. е. ко всем результатам бросания кости, будет оставаться постоянным. (В данном случае оно будет равно ¹/₆.) Это отношение называют вероятностью наступления благоприятного события. Для того чтобы правильно определить вероятность, требуется провести очень много испытаний. Если мы бросим кость один раз, то число благоприятных событий может быть только нулём или единицей. Если бросить кость два раза, то очень возможно, что шестёрка не выпадет ни разу, хотя вполне может случиться, что она окажется сверху в обоих случаях. Поэтому вероятностью, строго говоря, надо называть предел отношения благоприятных событий к общему числу событий, когда общее число событий стремится к бесконечности. Ввиду того что число благоприятных событий не может быть меньше нуля и больше числа всех событий, вероятность представляет собой число, которое может принимать значения от 0 до 1. В математике вероятность обычно выражается буквой р, так что 0 ? р ? 1. Событие, вероятность которого равна нулю, называются невозможным, а то, вероятность которого равна единице, – достоверным.

Такой способ определения вероятности называют эмпирическим, он требует проведения большого числа испытаний или наблюдений. В некоторых случаях без него невозможно оценить вероятность того или иного события. Например, для того чтобы узнать вероятность того, что 1 июня следующего года будет солнечный день, необходимо взять результаты метеорологических наблюдений для 1 июня за многие десятки лет, найти, сколько раз в этот день была ясная погода, и разделить это число на количество лет, в течение которых проводились наблюдения.

Однако во многих случаях вероятность события можно определить, не проводя испытаний, на основе только теоретических рассуждений. У нас нет никаких оснований думать, что шестёрка, как и любое другое число очков, будет выпадать чаще других. Поэтому можно заранее утверждать, что вероятности выпадения всех шести возможных вариантов равны между собой и, следовательно, равны ¹/₆. Если мы вытаскиваем наугад карту из полной колоды, то вероятность того, что она будет червовой, равна j, точно такой же, как и для любой другой масти. Если мы много раз будем вынимать по карте (назовём это действие испытанием), а затем каждый раз возвращать её обратно и перетасовывать колоду, то результат достаточного количества испытаний будет такой: ¹/₄ червей, ¹/₄ бубен, ¹/₄ треф и ¹/₄ пик. Если же результат окажется иным, то это будет означать, что масти в колоде находятся не в равном количестве, т. е. что колода «неправильная».

Рис. 196. Урна с шарами (пояснения в тексте)

Точно так же, если на игральной кости какое-то число будет выпадать чаще или реже, чем в одной шестой случаев, мы можем быть уверенными, что кость бракованная. Если все возможные события имеют одинаковые вероятности, их называют равновероятными. Если число таких событий равно N, то вероятность каждого из них равна 1/N.

Однако далеко не всегда мы имеем дело с равновероятными событиями, можно даже сказать, что чаще бывает наоборот. Рассмотрим простой пример. У нас есть ящик (в теории вероятности он называется урной), в котором находится 10 тщательно перемешанных шаров, из которых 5 белых, 3 чёрных и 2 красных (рис. 196). Вынем наугад один шар. Спрашивается, какова вероятность извлечь шар определённого цвета? Очевидно, что мы имеем 5 шансов из 10 вынуть белый шар, 3 – чёрный и 2 – красный, т. е. вероятности вынуть белый, чёрный и красный шар равны, соответственно, 0,5, 0,3 и 0,2. События, заключающиеся в извлечении белого, чёрного или красного шара, называют несовместимыми, так как невозможно, чтобы вынутый шар был одновременно белым и красным.

Теперь представим себе, что нас интересует вероятность того, что вынутый шар будет либо белым, либо красным. Поскольку в урне имеется 7 шаров, удовлетворяющих нашему требованию, то и вероятность такого события будет равна 0,7. Но 0,7 = 0,5 + 0,2. Отсюда следует вывод: вероятность того, что произойдёт какое-либо из несовместимых событий, равна сумме вероятностей этих событий. Допустим, мы хотим узнать вероятность того, что брошенная кость покажет число очков, делящееся на 3. Этому условию соответствуют 3 и 6 очков. Так как вероятность выпадения каждого из них равна ¹/₆, то интересующая нас вероятность будет равна¹/₆+¹/₆=¹/₃

Теперь определим вероятность того, что интересующее нас событие не произойдёт. В примере с урной мы хотим знать вероятность того, что вынутый шар не будет красным. Очевидно, что здесь мы имеет дело с двумя несовместимыми событиями: шар будет либо красным, либо не красным. Вероятность первого события равна 0,2, а вероятность второго 0,5 + 0,3 = 0,8. Значит, с вероятностью 0,8 мы вынем из урны не красный шар. Обратим внимание на то, что сумма вероятностей всех возможных несовместимых событий равна 1. Это вполне очевидно, так как ясно, что какое-нибудь событие из всего набора возможных произойдёт наверняка. Этот факт достоверен, а потому его вероятность равна 1. Но вероятность того, что какое-нибудь из всех возможных событий произойдёт, равна сумме их вероятностей и, следовательно, эта сумма вероятностей равна 1. Отсюда следует, что вероятность того, что какое-то событие не наступит, равна 1 минус вероятность того, что оно наступит, потому что либо то, либо другое произойдёт наверняка: р(А) + р(неА) = 1.

Для того чтобы всё это лучше понять, решим простую задачу. Через остановку проходят автобусы трёх маршрутов. Известно, что по первому маршруту курсирует 15 автобусов, по второму – 20, а по третьему – 25. Вам нужен автобус второго маршрута. Какова вероятность того, что первый пришедший автобус вас не устроит?

Для того чтобы облегчить решение, прибегнем к аналогии с задачей о шарах в урне. Условия нашей задачи равносильны тем, когда в урне находится 15 белых шаров, 20 чёрных и 25 красных. Итого 60 шаров. Какова вероятность того, что первым будет вынут не чёрный шар? Вероятность вынуть белый шар (первый маршрут) равна р(Б1) = ¹⁵/₆₀ = = ³/₁₂. Вероятность вынуть чёрный шар (ваш второй маршрут) равна р(Ч2) = ²⁰/ ₆₀ = ⁴/₁₂. Вероятность же вынуть красный шар (третий маршрут) равна р(К3) = ²⁵/₆₀ = ⁵/₁₂. Если вероятность того, что первый маршрут окажется вашим, р(Ч2) = ⁴/₁₂, то вероятность противоположного события, т. е. того, что вам не повезёт, должна быть равна 1 – ⁴/₁₂ = = ⁸/₁₂. Проверим. Если автобус оказался не вашим, значит, он принадлежит либо первому, либо третьему маршруту. Вероятность того, что придёт один из них р(Б1 или К3) равна р(Б1) + р(К3) = ^3/₁₂ + ^5/₁₂ = ^8/₁₂, что и совпадает с полученным нами результатом.